Operador llineal discontinu

En matemàtiques, les aplicacions llineals formen una classe important de funcions "simples" que conserven l'estructura algebraica dels espais vectorials, i s'utilisen a sovint com a aproximacions a funcions més generals (vore aproximació llineal). Si els espais involucrats també són espais topològics (és dir, espais vectorials topològics), llavors té sentit preguntar si totes les aplicacions llineals són contínues. Resulta que per a aplicacions definides en espais vectorials topològics de dimensió infinita (com per eixemple, els espais vectorials normados de dimensió infinita), la resposta generalment és no: existixen aplicacions llineals discontínues. Si el domini de definició és complet, és més complicat. Encara que es pot demostrar que tals aplicacions existixen, la prova es basa en l'axioma d'elecció, que no proporciona cap eixemple explícit.

Una aplicació llineal d'un espai de dimensió finita és sempre contínua

Sean X i I dos espais normados, i siga $f:X\to Y$ una aplicació llineal de X a I. Si X és de dimensió finita, elegixca's una base $(e_1,e_2,\dots ,e_n)$ en X que puga considerar-se com vectores unitaris. Llavors,

$f(x)=\sum _{i=1}^n{x}_{i}f(e_i),$

i aixina, per la desigualtat triangular,

$\Vert f(x)\Vert =\Vert \sum _{i=1}^n{x}_{i}f(e_i)\Vert \le \sum _{i=1}^n|x_i|\Vert f(e_i)\Vert .$

Deixant que

$M=\underset{i}{\sup }\{\Vert f(e_i)\Vert \},$

i utilisant el fet de que

$\sum _{i=1}^n|x_i|\le C\Vert x\Vert$

per a alguns C>0 (que es deduïx del fet de que dos normes qualssevol en un espai de dimensió finita són equivalents), es troba que

$\Vert f(x)\Vert \le (\sum _{i=1}^n|x_i|)M\le CM\Vert x\Vert$

Per lo tant, $f$ és un operador llineal acotat i, en conseqüència, és continu. De fet, per a vore açò, simplement observe's que f és llineal, i d'això es deduïx que $\Vert f(x)-f(x^{\prime })\Vert =\Vert f(x-x^{\prime })\Vert \le K\Vert x-x^{\prime }\Vert$ per a alguna constant universal K. Aixina, per a qualsevol $ϵ>0$, es pot elegir $\delta \le ϵ/K$ per a que $f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),ϵ)$ ($B(x,\delta )$ i $B(f(x),ϵ)$ són les boles normalisades al voltant de $x$ i $f(x)$), lo que dona continuïtat.

Si X és de dimensió infinita, esta argumentació falla, ya que no hi ha garantia de que existixca l'element suprem M. Si I és l'espai zero {0}, l'única aplicació entre X i I és l'aplicació "zero", que és trivialmente contínua. En tots els demés casos, quan X és de dimensió infinita i I no és l'espai zero, es pot trobar una aplicació discontínua de X a I.

Eixemple concret

Eixemples d'aplicacions llineals discontínues són fàcils de construir en espais que no estan complets. En qualsevol seqüència de Cauchy $e_i$ de vectores linealmente independents que no tinga llímit, existix un operador llineal $T$ tal que les cantitats $\Vert T(e_i)\Vert /\Vert e_i\Vert$ creixen sense llímit. En cert sentit, els operadors llineals no són continus perque l'espai té "buits".

Per eixemple, considere's l'espai X de funcions infinitament diferenciables de valor real en l'interval [0, 1] en norma del suprem, és dir,

$\Vert f\Vert =\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f(x)|.$

L'aplicació derivada-en-un-punt, donada per

$T(f)=f^{\prime }(0)$

definida en X i en valors reals, és llineal, pero no contínua. De fet, considere's la seqüència

$f_n(x)=\frac{\sin (n^{2}x)}{n}$

per a $n\ge 1$. Esta seqüència convergix uniformemente a la funció constantment zero, pero

$T(f_n)=\frac{n^2\cos (n^2\cdot 0)}{n}=n\to \mathrm{\infty }$

com $n\to \mathrm{\infty }$ en lloc de $T(f_n)\to T(0)=0$, lo que seria vàlit per a una aplicació contínua. Tinga's en conte que T té un valor real, per lo que en realitat ho és un funcional llineal en X (un element del espai dual algebraic X^*). L'aplicació llineal X → X que assigna a cada funció la seua derivada és igualment discontínua. Tinga en conte que encara que l'operador derivada no és continu, no obstant sí que és tancat.

El fet de que el domini no estiga complet ací és important. Els operadors discontinus en espais complets requerixen una miqueta més de treball.

Vore també

• Espai localment convexo
• Funció sublineal

Bibliografia

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Exercises in Functional Analysis, Springer, 2003. Plantilla:Isbn.
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, 1997. Plantilla:Isbn.