Mecànica estadística quàntica

La mecànica estadística quàntica és la branca mecànica estadística aplicable a sistemes quàntics. En mecànica quàntica, una colectivitat estadística es descriu per mig d'un operador de densitat S, que és un operador no negatiu, autoadjunto, classe de traça de traça 1 en l'espai de Hilbert H que descriu el sistema quàntic. Açò es pot mostrar baix varis formalisme matemàtics per a la mecànica quàntica. Un d'eixos formalisme és proporcionat per llògica quàntica.

Valor esperat

En la teoria clàssica de la provabilitat, el valor esperat d'una variable aleatòria X es definix a partir de la seua distribució de provabilitat D_X com:

assumint que la variable aleatòria és integrable i que la variable aleatòria no pren valors negatius. De la mateixa manera, siga A un observable d'un sistema mecano-quàntic. A ve donada per un operador autoadjunto densament definit en H. La mida espectral de A definida per

determina de forma única A i, recíprocament, està determinada de forma única per A. I_A és un homomorfisme booleano dels subconjunts de Borel de R en la ret Q de proyeccions autoadjuntas de H. En analogia en la teoria de la provabilitat, donat un estat S, introduïm la distribució de A baix S, que és la mida de provabilitat definida en els subconjunts de Borel de R per

De la mateixa manera, el valor esperat de A es definix en térmens de la distribució de provabilitat D_A per

Note's que este valor esperat és relatiu a l'estat mixt S que s'utilisa en la definició de D_A.

Comentari. Per raons tècniques, és necessari considerar per separat les parts positives i negatives de A definides pel càlcul funcional de Borel per a operadors no acotats.

Es pot mostrar fàcilment que:

Note's que si S és un estat pur corresponent al vector $\psi$, llavors:

La traça d'un operador A s'escriu com seguix:

Entropía de Von Neumann

AP

De particular importància per a descriure la aleatorietat d'un estat és la entropía de von Neumann de S formalment definida per:

En realitat, l'operador S log₂ S no és necessàriament classe de traça. No obstant, si S és un operador autoadjunto no negatiu no de classe trace vàrem definir Tr(S) = +∞. També tinga en conte que qualsevol operador de densitat S pot ser diagonalizado, que pot ser representat en alguna base ortonormal per una matriu (possiblement infinita) de la forma:

i definim

La convenció és que $0{\log }_{2}0=0$, ya que un event en provabilitat zero no deu contribuir a la entropía. Este valor és un número real estés (és dir, en [0, ∞]) i est és clarament un invariante unitari de S.

Comentari. De fet, és possible que H(S) = +∞ per a algun operador de densitat S. De fet, T siga la matriu diagonal:

$T=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2({\log }_{2}2{)}^2}& 0& \cdots & 0& \cdots \\ 0& \frac{1}{3({\log }_{2}3{)}^2}& \cdots & 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ 0& 0& & \frac{1}{n({\log }_{2}n{)}^2}& \\ ⋮& ⋮& & & \ddots \end{array}\right]$

T és una classe de traça no negativa i es pot mostrar T log₂ T no és classe de traça.

Teorema. La entropía és un invariante unitari.

En analogia en entropía clàssica (note's la similitut en les definicions), H(S) medix la cantitat de aleatorietat en l'estat S. Quant més dispersos estiguen els valors propis, major serà la entropía del sistema. Per a un sistema en el que l'espai H és finito-dimensional, la entropía s'maximizar per als estats S que en forma diagonal tenen la representació

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{n}& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{1}{n}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{n}\end{array}\right]$

Per a tal S, H(S) = log₂ n. L'estat S es diu estat mixt màxim.

Recordem que un estat pur és un dels formularis

$S=|\psi ⟩⟨\psi |,$

per a ψ un vector de la norma 1.

Teorema. H(S) = 0 si i només si S és un estat pur.

Per a S és un estat pur si i només si la seua forma diagonal té exactament una entrada distinta de zero que és un 1.

La entropía es pot utilisar com una mida d'entrelazamiento quàntic.