Método de Laplace

En matemàtiques, el método de Laplace, cridat aixina per Pierre-Simon Laplace, és una tècnica utilisada per a aproximar integrals de la forma

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}dx,$

on $f$ és una funció dos voltes diferenciable, $M$ és un número gran i els punts finals $a$ i $b$ Podria ser infinit. Esta tècnica va ser presentada originalment en el llibre de Laplace (1774).

En estadística bayesiana, l'aproximació de Laplace pot referir-se a l'aproximació de la constant de normalisació posterior en el método de Laplace o a l'aproximació de la distribució posterior en una gaussiana centrada en l'estimació màxima a posteriori. Les aproximacions de Laplace s'utilisen en el método d'aproximacions de Laplace aniuades integrades per a aproximacions ràpides d'inferència bayesiana.

Concepte

$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ té un màxim global en $x=0$ . $e^{Mf(x)}$ es mostra en la part superior per a $M=0.5$ i en la part inferior per a $M=3$ (abdós en blava). Com $M$ A mida que creix, l'aproximació d'esta funció per mig d'una funció gaussiana (mostrada en roig) millora. Esta observació subyacer al método de Laplace.

Siga la funció $f(x)$ tindre un màxim global únic en $x_0$. $M>0$ És una constant ací. Es consideren les dos funcions següents:

$\begin{array}{cc}g(x)& =Mf(x),\\ h(x)& =e^{Mf(x)}.\end{array}$

Llavors, $x_0$ és el màxim global de $g$ i $h$ també. Per això:

$\begin{array}{cc}\frac{g(x_0)}{g(x)}& =\frac{Mf(x_0)}{Mf(x)}=\frac{f(x_0)}{f(x)},\\ \frac{h(x_0)}{h(x)}& =\frac{e^{Mf(x_0)}}{e^{Mf(x)}}=e^{M(f(x_0)-f(x))}.\end{array}$

A mida que M aumenta, la relació entre $h$ creixerà exponencialment, mentres que la proporció de $g$ No canvia. Per lo tant, les contribucions significatives a l'integral d'esta funció provindran únicament dels punts $x$ En un entorn de $x_0$, que després pot estimar-se.

Teoria general

Per a enunciar i motivar el método és necessari fer vàries suposicions. Se supon que $x_0$ no és un punt final de l'interval d'integració i que els valors $f(x)$ No pot estar molt prop de $f(x_0)$ a menos que $x$ està prop de $x_0$_.

$f(x)$ es pot expandir al voltant de x ₀ per la teorema de Taylor,

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+R$

on $R=O((x-x_0{)}^3)$ (vore: cota superior asintòtica).

Des de $f$ té un màxim global en $x_0$, i $x_0$ no és un punt final, és un punt estacionario, és dir $f^{\prime }(x_0)=0$ . Per lo tant, el polinomi de Taylor de segon orde s'aproxima $f(x)$ és

$f(x)\approx f(x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2.$

Després només es necessita un pas més per a obtindre una distribució gaussiana. Des de $x_0$ és un màxim global de la funció $f$ Es pot afirmar, per definició de la segona derivada, que $f^{″}(x_0)\le 0$, donant aixina la relació

$f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2$

per a $x$ prop de $x_0$. L'integral pot llavors aproximar-se en:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}dx\approx e^{Mf(x_0)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}M|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2}dx$

Si $f^{″}(x_0)<0$ Esta última integral es convertix en una integral gaussiana si reemplacem els llímits d'integració per $-\mathrm{\infty }$ i $+\mathrm{\infty }$; quan $M$ és gran, açò crea solament un chicotet error perque l'exponent decau molt ràpit a partir de $x_0$. Calculant esta integral gaussiana obtenim:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}dx\approx \sqrt{\frac{2\pi }{M|f^{″}(x_0)|}}{e}^{Mf(x_0)}\text{ as }M\to \mathrm{\infty }.$

Una generalisació d'este método i una extensió a precisió arbitrària la proporciona el llibre Fog (2008).

Declaració formal i prova

Supongam que 𝑓(𝑥) és una funció que té derivades contínues fins al segon orde en l'interval [𝑎, 𝑏], i que existix un únic punt 𝑥₀ en l'interval (𝑎, 𝑏) que satisfà la següent condició:

$f(x_0)=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x)\text{and}{f}^{″}(x_0)<0.$

Llavors:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{nf(x)}dx}{e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi }{n(-f^{″}(x_0))}}}=1.$

Vore també

• Método de la fase estacionaria