Homologia afí

Image d'una esfera de ràdio r per mig d'una afinitat ortogonal basada en l'eix polar (Oz), direcció del pla (xOy) i relació k. S'obté un esferoide

En la terminologia de la geometria descriptiva, s'ampren les denominacions de homologia afí o de afinitat homollògica per a designar a un cas particular d'homologia, en el que el vèrtiç o centre és un punt impropi (situat en l'infinit), i en conseqüència, les llínees de proyecció són paraleles entre sí (és dir, que cada parella de punts afins (com A-A') estan units per una recta que és paralela a la direcció de afininidad).

Per un atre costat, en matemàtiques, una afinitat és una aplicació llineal o afí d'un espai vectorial o afí sobre sí mateixa, que equival a l'identitat en una direcció i a una homotecia en una atra.

Etimologia

El terme afinitat (affinitas en llatí) en un sentit matemàtic va ser introduït per Leonhard Euler en la seua obra de 1748, "Introductio in Analysin infinitorum". En el seu capítul De similitudine et affinitate linearum curvarum, Euler estudia curves similars, és dir que tenen la mateixa forma pero en un possible canvi d'orientació i tamany. Estes són curves entre les imàgens de les quals es pot establir una relació de semblança. Despuix d'observar que multiplicant l'abscissa i l'ordenada pel mateix número, es transforma una curva en una curva similar, es va plantejar la qüestió del cas en el que l'abscissa i l'ordenada es multipliquen per números diferents. Va observar que les curves ya no són semblants pero, per certa analogia de forma, dirà que presenten una “afinitat” entre elles. Ací pren el significat lliteral d'afinitat: mantindre una certa relació de proximitat o de semblança. Aixina, un círcul i una elipse no són similars pero tenen afinitat entre ells.

L'afinitat estudiada per Euler no es correspon estrictament en la definida actualment, ya que permet una modificació d'escala en vàries direccions, pero és fàcilment reducible a ella aplicant composicions de vàries afinitats “modernes”.

Afinitat vectorial

Erro al crear miniatura:

Dos vectores i les seues imàgens per afinitat de base F, direcció G i proporció 2

Una afinitat vectorial és un endomorfisme, que a la seua volta és la suma directa d'una identitat i d'una homotecia. Més precisament:

Siga $E$ un espai vectorial, $F$ i $G$ dos subespacios adicionals $($, és dir, $E=F\oplus G)$, i $\lambda$ un número real; llavors la afinitat de la base $F($ o sobre $F)$, de la direcció $G$ i de la relació $\lambda$ és l'endomorfisme únic $f$ que, restringit a $F$, és igual a l'identitat, i restringit a $G$, és igual a la homotecia de raó $\lambda$:

si $x=x_F+x_G$, llavors $f(x)=x_F+\lambda \text{·}{x}_G$.

Caracterisació en dimensió finita: endomorfisme diagonalisable que té com a màxim dos valors propis distints, dels quals com a màxim un és diferent de l'unitat.

Les afinitats cobrixen els següents casos especials:

• Sobre $F$ i $G$:
  • Si $F=E$, l'afinitat és la funció identitat

• • Si és $G=E$, l'afinitat és una homotecia de relació $\lambda$
  • Si és $\dim G=1$, l'afinitat es diu hiperplana i du el nom de dilatació
• Sobre el valor $\lambda$:
  • Si és $\lambda =0$, l'afinitat és la proyecció sobre $F$ paralela a $G$. Si és $F\ne E$, esta afinitat no és biyectiva. Est és l'únic cas en el que l'afinitat no és una transformació pròpiament dita
  • Si $\lambda =1$, l'afinitat és la funció identitat. Si és $F\ne E$, est és l'únic cas en el que el conjunt de invariantes és diferent de $F$
• Si $\lambda =-1$, l'afinitat és una simetria sobre $F$ en paralel a $G$

L'afinitat $f$ de la base $F$, la direcció $G$ i la relació $\lambda$ està vinculada a la proyecció $p$ sobre $F$ paralela a $G$ per mig de la següent igualtat:

$f=(1-\lambda )p+\lambda I{d}_E$

Vore també

• Homologia