Esforç de Reynolds

En dinàmica de decorreguts, la tensió de Reynolds o esforç de Reynolds és el component del Tensor tensió en un decorregut obtingut a partir de l'operació de promediado sobre les equacions de Navier-Stokes per a tindre en conte les fluctuacions turbulentas en la cantitat de moviment del decorregut.

Definició

El camp de velocitat d'un fluix pot dividir-se en una part mija i una part fluctuante utilisant la descomposició de Reynolds. D'eixa forma es té que

$u_i=\overline{u_i}+{u_i}^{\prime },$

sent $𝐮(𝐱,t)$ el vector velocitat del fluix que té components $u_i$ en la direcció de coordenades $x_i$ (en $x_i$ denotant les components del vector de coordenades $𝐱$). Les velocitats miges $\overline{u_i}$ es determinen ya siga per promig de temps, promig espacial o promig del conjunt, depenent del fluix baix estudi. Ademés $u{\text{'}}_i$ denota la part fluctuante (turbulència) de la velocitat.

Considerem un decorregut homogéneu, que la seua densitat ρ es pren com a constant. Per a tal decorregut, els components τ'_ij del tensor d'esforç de Reynolds es definixen com:

$\tau {\text{'}}_{ij}\equiv \rho \overline{u{\text{'}}_{i}u{\text{'}}_j},$

Una atra definició -a sovint utilisada-, per a densitat constant, dels components de la tensió de Reynolds és:

${\tau }^{\prime }{\text{'}}_{ij}\equiv \overline{u{\text{'}}_{i}u{\text{'}}_j},$

que té les dimensions de la velocitat al quadrat, en lloc de la tensió.

Promig i tensió de Reynolds

Per a ilustrar, s'utilisa la notació d'índex vectorial cartesiano. Per a simplificar, considerem un decorregut incompresible:

Donada la velocitat del decorregut $u_i$en funció de la posició i el temps, escriure la velocitat mija del decorregut com $\overline{u_i}$, i la fluctuació de la velocitat és $u{\text{'}}_i$. Llavors $u_i=\overline{u_i}+u{\text{'}}_i$.

Les regles convencionals de conjunt de promediación són que

$\begin{array}{cc}\bar{\overline{a}}& =\overline{a},\\ \overline{a+b}& =\overline{a}+\overline{b},\\ \overline{a\overline{b}}& =\overline{a}\overline{b}.\end{array}$

Es dividixen les equacions de Euler (decorreguts) o les equacions de Navier-Stokes en una part mija i una atra fluctuante. Es troba que al promediar les equacions de decorreguts, apareix una tensió en el costat dret de la forma $\rho \overline{u{\text{'}}_{i}u{\text{'}}_j}$. Esta és la tensió de Reynolds, convencionalment escrita $R_{ij}$:

$R_{ij}\equiv \rho \overline{u{\text{'}}_{i}u{\text{'}}_j}$

La divergència d'esta tensió és la densitat de força sobre el decorregut deguda a les fluctuacions turbulentas.

Promig de Reynolds de les equacions de Navier-Stokes

Artícul principal → Equacions de Navier-Stokes promediadas per Reynolds.

Per eixemple, per a un decorregut incompresible, viscós, newtoniano, les equacions de continuïtat i moment -les equacions incompresibles de Navier-Stokes- poden escriure's (de forma no conservativa) com

$\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0,$

i

$\rho \frac{D{u}_i}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\mu \left(\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_j\partial x_j}\right),$

a on $D/Dt$ és la derivada lagrangiana,

$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+u_j\frac{\partial }{\partial x_j}.$

Definint les variables de fluix anteriors en una component promediada en el temps i una component fluctuante, les equacions de continuïtat i de moment es convertixen en

$\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial x_i}=0,$

i

$\rho [\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial t}+(\overline{u_j}+{u_j}^{\prime })\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial x_j}]=-\frac{\partial (\overline{p}+p^{\prime })}{\partial x_i}+\mu \left[\frac{{\partial }^2(\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial x_j\partial x_j}\right].$

Examinant un dels térmens del costat esquerre de l'equació del moment, s'observa que

$(\overline{u_j}+{u_j}^{\prime })\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial x_j}=\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })(\overline{u_j}+{u_j}^{\prime })}{\partial x_j}-(\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })\frac{\partial (\overline{u_j}+{u_j}^{\prime })}{\partial x_j},$

a on l'últim terme del costat dret desapareix com a resultat de l'equació de continuïtat. En conseqüència, l'equació de moment passa a ser

$\rho [\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial t}+\frac{\partial (\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })(\overline{u_j}+{u_j}^{\prime })}{\partial x_j}]=-\frac{\partial (\overline{p}+p^{\prime })}{\partial x_i}+\mu \left[\frac{{\partial }^2(\overline{u_i}+{u_i}^{\prime })}{\partial x_j\partial x_j}\right].$

Ara es promedian les equacions de continuïtat i de moment. Cal amprar les regles de promediación del conjunt, tenint en conte que la mija de productes de cantitats fluctuantes no desapareixerà en general. Despuix de promediar, les equacions de continuïtat i de moment es convertixen en

$\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i}=0,$

i

$\rho [\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_i}\overline{u_j}}{\partial x_j}+\frac{\partial \overline{{u_i}^{\prime }{u_j}^{\prime }}}{\partial x_j}]=-\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i}+\mu \frac{{\partial }^2\overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j}.$

$\frac{\partial \overline{u_i}\overline{u_j}}{\partial x_j}=\overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}+\overline{u_i}\frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j},$

Usant la regla del producte en un dels térmens del costat esquerre, es revela que

$\frac{\partial \overline{u_i}\overline{u_j}}{\partial x_j}=\overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}+\overline{u_i}\frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j},$

a on l'últim terme del costat dret desapareix com a resultat de l'equació de continuïtat promediada. L'equació de moment promediado es convertix ara, despuix d'un reordenamiento:

$\rho [\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t}+\overline{u_j}\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}]=-\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_j}(\mu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}-\rho \overline{{u_i}^{\prime }{u_j}^{\prime }}),$

a on les tensions de Reynolds, $\rho \overline{{u_i}^{\prime }{u_j}^{\prime }}$, s'arrepleguen en els térmens de tensió viscosa normal i tallant, $\mu \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j}$.

Discussió

L'equació d'evolució temporal de la tensió de Reynolds va ser donada per primera volta per Ec.(1.6) en Zhou Peiyuan's paper. L'equació en forma moderna és

$$\underset{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}}{\underbrace{\frac{\partial \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}}{\partial t}}}\underset{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}{\underbrace{+{\overline{u}}_k\frac{\partial \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}}{\partial x_k}}}=\underset{\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}{\underbrace{-\overline{u_i^{\prime }{u}_k^{\prime }}\frac{\partial {\overline{u}}_j}{\partial x_k}-\overline{u_j^{\prime }{u}_k^{\prime }}\frac{\partial {\overline{u}}_i}{\partial x_k}}}\underset{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\underbrace{+\overline{\frac{p^{\prime }}{\rho }(\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j^{\prime }}{\partial x_i})}}}\underset{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}{\underbrace{-\frac{\partial }{\partial x_k}(\overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }{u}_k^{\prime }}+\frac{\overline{p^{\prime }{u}_i^{\prime }}}{\rho }{\delta }_{jk}+\frac{\overline{p^{\prime }{u}_j^{\prime }}}{\rho }{\delta }_{ik}-\nu \frac{\partial \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}}{\partial x_k})}}-2\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial x_k}\frac{\partial u_j^{\prime }}{\partial x_k}},$$

a on $\nu$ és la viscosidad cinemàtica, i l'últim terme $\nu \overline{\frac{\partial u_i^{\prime }}{\partial x_k}\frac{\partial u_j^{\prime }}{\partial x_k}}$ és la taxa de malbarat turbulenta. Esta equació és molt complexa. Si es traça la $\overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}$, s'obté l'energia cinètica de la turbulència. El terme de mescla de pressió es diu aixina perque este terme (també cridat covarianza de pressió-deformació) no té traça baix el supòsit de incompresibilidad, lo que significa que no pot crear ni destruir energia cinètica de turbulència, sino només mesclar-la entre els tres components de la velocitat. Depenent de l'aplicació, esta equació també pot incloure térmens de producció de flotabilitat (proporcionals a l'acceleració gravitatoria $g$) i térmens de producció de Coriolis (proporcionals a la velocitat de rotació de la Terra); estos estarien presents en aplicacions atmosfèriques, per eixemple.

La pregunta és, llavors, ¿quin és el valor de la tensió de Reynolds? Esta qüestió ha segut objecte d'un intens treball de modelisació i interés durant aproximadament l'últim sigle. El problema es reconeix com un problema de tancament, similar al problema de tancament en la Jerarquia BBGKY. Es pot trobar una equació de transport per a la tensió de Reynolds prenent el producte exterior de les equacions del decorregut per a la velocitat fluctuante, en si mateixa.

Es troba que l'equació de transport per a la tensió de Reynolds inclou térmens en correlació d'orde superior (específicament, la triple correlació $\overline{v{\text{'}}_{i}v{\text{'}}_{j}v{\text{'}}_k}$), aixina com correlació en fluctuacions de pressió (és dir, el moment transportat per les ones sonores). Una solució comuna és modelizar estos térmens per mig de simples prescripcions ad hoc.

La teoria de la tensió de Reynolds és prou anàloga a la teoria cinètica dels gasos, i de fet el tensor de tensió en un decorregut en un punt pot vore's com la mija del conjunt de la tensió deguda a les velocitats tèrmiques de les molècules en un punt donat d'un decorregut. Aixina, per analogia, a voltes es considera que la tensió de Reynolds consta d'una part de pressió isotrópica, denominada pressió turbulenta, i una part no diagonal que pot considerar-se una viscosidad turbulenta efectiva.

De fet, encara que s'han dedicat molts esforços a desenrollar bons models de la tensió de Reynolds en un decorregut, en la pràctica, quan es resolen les equacions de decorreguts per mig de dinàmica de decorreguts computacional, a sovint els models de turbulència més senzills resulten ser els més eficaços. Una classe de models, estretament relacionats en el concepte de viscosidad turbulenta, són els models de turbulència k-epsilons, basats en equacions de transport acoplades per a la densitat d'energia turbulenta $k$ (similar a la pressió turbulenta, és dir, la traça de la tensió de Reynolds) i la taxa de malbarat turbulenta $ϵ$.

Típicament, la mija es definix formalment com una mija de conjunt com en la teoria de la Colectivitat estadística. No obstant, en la pràctica, la mija també pot considerar-se com una mija espacial a lo llarc d'una escala de llongitut, o una mija temporal. Note's que, encara que formalment la conexió entre tals promijos està justificada en Mecànica estadística per la Teoria ergòdica, la mecànica estadística de la turbulència hidrodinàmica està actualment llunt de ser compresa. De fet, la tensió de Reynolds en un punt donat d'un decorregut turbulento està subjecta a interpretació, depenent de cóm es definixca la mija.

Bibliografia

• Hinze, J. O. (1975). Turbulence, 2nd edició, McGraw-Hill. ISBN 0-07-029037-7.
• (1972) A First Course in Turbulence, MIT Press. ISBN 0-262-20019-8.
• Pope, Stephen B. (2000). Turbulent Flows, Cambridge University Press. ISBN 0-521-59886-9.