Jerarquia BBGKY

En física estadística, la jerarquia BBGKY (jerarquia Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon, a voltes cridada jerarquia de Bogoliubov) és un conjunt d'equacions que descriuen la dinàmica d'un sistema en un gran número de partícules interaccionantes. L'equació per a la funció de distribució de s partícules (funció de densitat de provabilitat) en la jerarquia BBGKY inclou la funció de distribució de (s + 1) partícules, formant aixina un sistema d'equacions acoplades.

Formulació

L'evolució d'un sistema de N partícules està donada per l'equació de Liouville per a la funció de densitat de provabilitat $f_N=f_N({𝐪}_1\dots {𝐪}_N,{𝐩}_1\dots {𝐩}_N,t)$ en un espai 6N dimensional de fases (3 dimensions espacials i 3 de moment llineal per partícula)

$\frac{\partial f_N}{\partial t}+\sum _{i=1}^N{\dot{𝐪}}_i\frac{\partial f_N}{\partial {𝐪}_i}+\sum _{i=1}^N(-\frac{\partial {\Phi }_i^{ext}}{\partial {𝐪}_i}-\sum _{j=1}^N\frac{\partial {\Phi }_{ij}}{\partial {𝐪}_i})\frac{\partial f_N}{\partial {𝐩}_i}=0.$

Aplicant l'integració per parts, l'equació de Liouville pot ser transformada en una cadena d'equacions a on la primera equació conecta l'evolució de densitat de provabilitat d'una partícula en la funció de densitat de provabilitat de dos partícules, la segona equació conecta la funció de densitat de provabilitat de dos partícules en la funció de densitat de provabilitat de tres partícules i, en general, la s-ésima equació conecta l'evolució de la densitat de provabilitat de s partícules $f_s=f_s({𝐪}_1\dots {𝐪}_s,{𝐩}_1\dots {𝐩}_s,t)$ en la densitat de provabilitat de (s+1) partícules

$\frac{\partial f_s}{\partial t}+\sum _{i=1}^s{\dot{𝐪}}_i\frac{\partial f_s}{\partial {𝐪}_i}+\sum _{i=1}^s(-\frac{\partial {\Phi }_i^{ext}}{\partial {𝐪}_i}-\sum _{j=1}^s\frac{\partial {\Phi }_{ij}}{\partial {𝐪}_i})\frac{\partial f_s}{\partial {𝐩}_i}=(N-s)\sum _{i=1}^s\frac{\partial }{\partial {𝐩}_i}\int \frac{\partial {\Phi }_{is+1}}{\partial {𝐪}_i}\cdot f_{s+1}d{𝐪}_{s+1}d{𝐩}_{s+1}.$

Ací ${𝐪}_i,{𝐩}_i$ són les coordenades espacials i de moment per a i-ésima partícula, ${\Phi }^{ext}({𝐪}_i)$ és el potencial de camp extern, i ${\Phi }_{ij}({𝐪}_i,{𝐪}_j)$ és el potencial de parell per a l'interacció entre partícules. L'equació de dalt per a la funció de distribució de s partícules està obtinguda per l'integració de l'equació de Liouville sobre les variables ${𝐪}_{s+1}\dots {𝐪}_N,{𝐩}_{s+1}\dots {𝐩}_N$.

Interpretació física i aplicacions

Esquemáticament, l'equació de Liouville nos dona l'evolució temporal per al sistema complet de $N$ partícules de la forma $D{f}_N=0$, a on es té un fluix incompresible de la densitat de provabilitat en l'espai de fases. Per a construir la jerarquia, lo que es fa és definir funcions de distribució reduïdes de forma incremental integrant en el restant de graus de llibertat del sistema $f_s\sim \int f_{s+1}$. Una equació en la jerarquia BBGKY nos diu que l'evolució temporal de tal $f_s$ està donada per una equació tipo Liouville, pero en un terme correctivo adicional que representa l'influència del restant de (N-1) partícules suprimides

$D{f}_s\propto {\text{div}}_{𝐩}⟨{\text{grad}}_{𝐪}{\Phi }_{i,s+1}{⟩}_{f_{s+1}}.$

El problema de resoldre la jerarquia BBGKY d'equacions és tan dur com resoldre l'equació original de Liouville, no obstant, es poden fer aproximacions (que permeten truncar la jerarquia infinita en un sistema finito d'equacions). La ventaja d'estes equacions és que les funcions de distribució més altes $f_{s+2},f_{s+3},\dots$ afecten l'evolució temporal de $f_s$ únicament de forma implícita via $f_{s+1}$. Truncar la cadena d'equacions BBGKY és un punt de partida comuna per a moltes aplicacions de teoria cinètica que poden ser usades per a la derivació d'equacions cinètiques clàssiques o quàntiques. En particular, la truncació en la primera equació o en les dos primeres equacions pot ser usat com a punt de partida per a deduir les equacions Boltzmann (clàssica o quàntica) i les correccions a primer orde de les mateixes. Atres aproximacions, com assumir que la funció de densitat de provabilitat depén només de la distància relativa entre les partícules o l'assunció del règim hidrodinàmic, també poden fer que la cadena BBGKY puga ser "resolta".