Desigualtat de Hadamard

En matemàtiques, la desigualtat de Hadamard (també coneguda com a teorema de Hadamard sobre els determinants) és un resultat publicat per primera volta per Jacques Hadamard en 1893. És una cota del determinant d'una matriu les entrades de la qual són número complex en térmens de les llongituts de les seues vectores columna. En térmens geomètrics, quan es restringix a número real, llimita el volum en l'espai euclídeo de n dimensions marcades per n vectores v_i per a 1 ≤ i ≤ n en térmens de les llongituts d'estos vectores ||v_i&x200A;||.

Específicament, la desigualtat de Hadamard establix que si N és la matriu que té columnes V_i, llavors

$|\det (N)|\le \prod _{i=1}^n\Vert v_i\Vert .$

Si els n vectores són distints de zero, l'igualtat en la desigualtat de Hadamard es conseguix si la bicondicional dels vectores són ortogonals.

Formes alternatives i corolaris

Un corolari és que si les entrades d'una matriu N de n per n estan acotades per B, llavors |N_ij&x200A;| ≤ B per a tot i i j, llavors

$|\det (N)|\le B^n{n}^{n/2}.$

En particular, si les entrades de N són +1 i −1 solament, llavors

$|\det (N)|\le n^{n/2}.$

En combinatòria, les matrius N per a les quals es complix l'igualtat, és dir, aquelles en columnes ortogonals, es denominen matrius de Hadamard.

De manera més general, supongam que N és una matriu complexa d'orde n, les entrades de la qual estan acotades per |N_ij&x200A;| ≤ 1, per a cada i, j entre 1 i n. Llavors la desigualtat de Hadamard establix que

$|\det (N)|\le n^{n/2}.$

L'igualtat en este llímit es conseguix per a una matriu real N si la bicondicional N és una matriu de Hadamard.

Una matriu P semidefinida positiva es pot escriure com a N^*N, a on N^* denota la matriu transpuesta conjugada de N (vore Descomposició d'una matriu semidefinida). Llavors

$\det (P)=\det (N{)}^2\le \prod _{i=1}^n\Vert v_i{\Vert }^2=\prod _{i=1}^n{p}_{ii}.$

Llavors, el determinant d'una matriu definida positiva és menor o igual al producte de les seues entrades diagonals. A voltes açò també es coneix com a desigualtat de Hadamard.

Prova

El resultat és trivial si la matriu N és singular, aixina que supongam que les columnes de N són linealment independents. En dividir cada columna per la seua llongitut, es pot vore que el resultat és equivalent el cas especial a on cada columna té llongitut 1, és dir, si i_i són vectores unitaris i M és la matriu que té a i_i com a columnes llavorsPlantilla:NumBlki l'igualtat es conseguix si i només si els vectores són un conjunt ortogonal. El resultat general ara és el següent:

$|\det N|=(\prod _{i=1}^n\Vert v_i\Vert )|\det M|\le \prod _{i=1}^n\Vert v_i\Vert .$

Para provar (1), considere P = M^*M i siguen els valors propis de P λ₁, λ₂, … λ_n. Ya que la llongitut de cada columna de M és 1, cada entrada en la diagonal de P és 1, per lo que la traça de P és n. Aplicant la desigualtat de miges aritmètiques i geomètriques,

$\det P=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i\le (\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{)}^n={(\frac{1}{n}\mathrm{tr}P)}^n=1^n=1,$

llavors

$|\det M|=\sqrt{\det P}\le 1.$

Si hi ha igualtat, llavors cada u dels λ_i deu ser igual i la seua suma és n, per lo que tots deuen ser 1. La matriu P és hermitiana, per lo tant diagonalisable, per lo que és la matriu identitat; en atres paraules, les columnes de M són un conjunt ortonormal i les columnes de N són un conjunt ortogonal. Es poden trobar moltes atres proves en la lliteratura.

Vore també

• Desigualtat de Fisher

Referències

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, {{{nom2}}} (1999). Jacques Hadamard: A Universal Mathematician, AMS, pp. 383ff. ISBN 0-8218-1923-2.
• Garling (2007). Inequalities: A Journey into Linear Analysis, Cambridge, p. 233. ISBN 978-0-521-69973-0.
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Functional Analysis, Dover, p. 176. ISBN 0-486-66289-6.
• Hadamard's Inequality en MathWorld.

Bibliografia

• Beckenbach; Bellman, Richard Ernest (1965). Inequalities, Springer, p. 64.