Desigualtat de Fisher

La desigualtat de Fisher (Fisher's inequality en anglés) és una condició necessària per l'existència d'un disseny de bloc incomplet balancejat la qual cosa satisfà certes condicions prescrites en la matemàtica combinatòria. Delineado per Ronald Fisher, un genetista de les poblacions i estadístic, es va preocupar pels dissenys experimentals i estudiava la diferència entre vàries varietat de les plantes, cada una avall d'un número de diferents condicions de cultiu, que es diuen blocs.

Assumix:

• v és el número de varietats de plantes;
• b és el número de blocs.

Es va exigir que:

• k varietats distintes estan en cada bloc, k < v; no hi ha varietat que ocórrega dos voltes en algun bloc;
• dos varietats ocórreguen juntes en exactament λ blocs;
• cada varietat ocórrega en exactament r blocs.

La desigualtat de Fisher diu que:

$b\ge v.$

Prova

Assumix que la matriu d'incidència M siga una v×b matriu definida per a que M_i,j és 1 si element i està en bloc j i 0 no. Després B=MM^T és una matriu v×v tal que B_i,i = r i B_i,j = λ per i ≠ j. Doneu que r ≠ λ, det(B) ≠ 0, aixina ranc(B) = v; per una atra part, ranc(B) = ranc(M) ≤ b, aixina v ≤ b.

Generalitats

La desigualtat de Fisher és vàlit per classes més generalisades de disseny. Un «disseny balancejat que ocorre en parells» és un grup X junt en una família de subconjunts de X (la qual cosa no fa falta tindre el mateix tamany ni contindre repeticions) tal que cada parell d'elements distints de X es conté exactament en λ (un sancer positiu) conjunts. El grup X es puga fer un dels subconjunts, i si tots els subconjunts són de X, el «disseny balancejat que ocorre en parells» es diu trivial. El tamany de X is v i el número d'atres subconjunts en la família, contat en multiplicitat, és b.

Teorema: Per qualsevol «disseny balancejat que ocorre en parells» que no és trivial, v ≤ b.

Este resultat generalisa la teorema de Erdős-De Bruijn:

Per un PBD en λ = 1 que no tinga blocs de tamany 1 o tamany v, v ≤ b, en igualtat si el «disseny balancejat que ocorre en parells» siga un pla proyectivo.

Referències

• R. C. Bose, "A Note on Fisher's Inequality for Balanced Incomplete Block Designs", Annals of Mathematical Statistics, 1949, pages 619–620.

• R. A. Fisher, "An examination of the different possible solutions of a problem in incomplete blocks", Annals of Eugenics, volume 10, 1940, pages 52–75.

• (2003).«Combinatorial Designs: Constructions and Analysis».Springer.New York: