Denové problema de Hilbert

El problema denové de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), pregunta si les solucions de problemes regulars en el càlcul de variacions són sempre analítiques. Informalment, i potser menys directament, ya que el concepte de Hilbert d'un "problema variacional regular" identifica precisament un problema variacional que les seues equacions de Euler-Lagrange són una equació diferencial parcial elíptica en coeficients analítics, El denové problema de Hilbert, a pesar de la seua afirmació aparentment tècnica, simplement pregunta si, en esta classe d'equació en derivades parcials, qualsevol funció solució hereta l'estructura relativament simple i ben entesa de l'equació resolta. El denové problema de Hilbert va ser resolt de forma independent a finals de la década de 1950 per Ennio de Giorgi i John Forbes Nash.

Història

Els orígens del problema

David Hilbert va presentar l'ara cridat problema denové de Hilbert en el seu discurs en el segon Congrés Internacional de Matemàtics. En Plantilla:Harv afirma que, en la seua opinió, un dels fets més destacables de la teoria de les funcions analítiques és que existixen classes d'equacions diferencials parcials que admeten solament eixe tipo de funcions com a solucions, aduint l'equació de Laplace, l'equació de Liouville, la superfície minimal i una classe d'equacions diferencials parcials llineals estudiades per Charles Émile Picard com a eixemples. Després observa el fet de que la majoria de les equacions diferencials parcials que compartixen esta propietat són l'equació de Euler-Lagrange d'un tipo de problema variacional ben definit, que presenta les següents tres propietats:

Plantilla:EquationRef$\iint F(p,q,z;x,y)dxdy=\text{Mínimo}[\frac{\partial z}{\partial x}=p;\frac{\partial z}{\partial y}=q]$,

Plantilla:EquationRef$\frac{{\partial }^{2}F}{{\partial }^{2}p}\cdot \frac{{\partial }^{2}F}{{\partial }^{2}q}-{\left(\frac{{\partial }^{2}F}{\partial p\partial q}\right)}^2>0$,

Plantilla:EquationRef $F$ és una funció analítica en tots els seus arguments p, q, z, x i i.

Hilbert crida a este tipo de problema variacional un "problema variacional regular": la propietat Plantilla:EquationNote significa que eixe tipo de problemes variacionales són problemes de mínim, la propietat Plantilla:EquationNote és la condició de elipticidad en les equacions de Euler-Lagrange associades al funcional dau, mentres que la propietat Plantilla:EquationNote és un supòsit simple de regularitat de la funció F. Havent identificat la classe de problemes a tractar, llavors planteja la següent pregunta: - " ... ¿té cada equació diferencial parcial de Lagrange d'un problema de variació regular la propietat d'admetre integrals analítiques exclusivament?" i pregunta ademés si este és el cas inclús quan es requerix que la funció assumixca, com succeïx en el problema de Dirichlet en la funció potencial, valors de frontera que són continus, pero no analítics.

El camí cap a la solució completa

Hilbert va plantejar el seu denové problema com un problema de regularitat per a una classe d'equació diferencial parcial elíptica en coeficients analítics, per lo tant els primers esforços dels investigadors que varen buscar resoldre-ho es varen dirigir a estudiar la regularitat de les solucions clàssiques de les equacions pertanyents a esta classe. Per a les solucions [[Funció diferenciable|Plantilla:SubSup]], el problema de Hilbert va ser respost positivament per Sergei Natanovich Bernstein (1904) en la seua tesis: va demostrar que les solucions Plantilla:SubSup d'equacions analítiques elíptiques no llineals en 2 variables són analítiques. El resultat de Bernstein va ser millorat en els anys per varis autors, com Petrowsky (1939), que varen reduir els requisits de diferenciació de la solució necessaris per a demostrar que és analítica. Per un atre costat, els métodos directes en el càlcul de variacions varen mostrar l'existència de solucions en propietats de diferenciabilidad molt dèbils. Durant molts anys va haver una brecha entre estos resultats: se sabia que les solucions que podien construir-se tenien segones derivades integrables quadràtiques, que no eren lo suficientment fortes per a alimentar la maquinària que podia demostrar que eren analítiques, ya que necessitaven la continuïtat de les primeres derivades. Este buit va ser omplit de forma independent per Ennio de Giorgi (1956-1957) i John Forbes Nash (1957-1958). Varen poder demostrar que les solucions tenien primeres derivades que eren contínues de Hölder, lo que per resultats anteriors implicava que les solucions són analítiques sempre que l'equació diferencial tinga coeficients analítics, completant aixina la solució del denové problema de Hilbert.

Contraeixemples a vàries generalisacions del problema

La resposta afirmativa al denové problema de Hilbert donada per Ennio De Giorgi i John Forbes Nash va plantejar la qüestió de si la mateixa conclusió és vàlida també per a les equacions de Euler-Lagrange de funcional més generals: a finals de la década de 1960,Maz'ya (1968),De Giorgi (1968) i Giusti y Miranda (1968) es varen construir de forma independent varis contraeixemples, que mostren que, en general, no hi ha esperances de provar este tipo de resultats de regularitat sense agregar més hipòtesis.

Precisament,Maz'ya (1968) va donar varis contraeixemples que involucren una sola equació elíptica d'orde major que dos en coeficients analítics: per als experts, el fet de que este tipo d'equacions pogueren tindre solucions no analítiques i inclús no suaus va causar sensació.De Giorgi (1968) i Giusti y Miranda (1968) varen donar contraeixemples que mostren que en el cas de que la solució tinga un valor vectorial en lloc d'un valor escalar, no és necessari que siga analítica: l'eixemple de De Giorgi consistix en un sistema elíptic en coeficients acotats, mentres que el de Giusti i Miranda té coeficients analítics. Més vesprada,Nečas (1977) va proporcionar atres eixemples més refinats per al problema de valors vectorials.

Teorema de De Giorgi

La teorema clau demostrada per De Giorgi és una estimació a priori que establix que si o és una solució d'una equació en derivades parcials llineal de segon orde estrictament elíptica adequada de la forma

$D_i(a^{ij}(x)D_{j}u)=0$

i $u$ té primeres derivades integrables quadrades, llavors $u$ és contínua de Hölder.

Bibliografia

• .
• . Reprinted in .
• . "On the analyticity of extremals of multiple integrals" (English translation of the title) is a short research announcement disclosing the results detailed later in Plantilla:Harv. While, according to the [[ #Plantilla:Harvid|Complete list of De Giorgi's scientific publication (De Giorgi 2006]], p. 6), an English translation should be included in Plantilla:Harv, it is unfortunately missing.
• . Translated in English as "On the differentiability and the analyticity of extremals of regular multiple integrals" in Plantilla:Harv.
• . Translated in English as "An example of discontinuous extremals for a variational problem of elliptic type" in Plantilla:Harv.
• .
• .
• .
• , translated in English as .
• .
• .
• .
  – Reprinted as .
  – Translated to English by Mary Frances Winston Newson as .
  – Reprinted as .
  – Translated to French by M. L. Laugel (with additions of Hilbert himself) as .
  – There exists also an earlier (and shorter) resumix of Hilbert's original talk, translated in French and published as .
• .
• .
  – Translated in English as .
• .
• .
• .
• .
• .