Derivada dèbil

En matemàtiques, la derivada dèbil és una generalisació del concepte de derivada d'una funció que s'assumix com no diferenciable, pero sí integrable, és dir, residixen en un espai L^p ${\mathrm{L}}^1([a,b])$. Vore distribució per a una definició encara més generalisada.

Definició

Siga $u$ una funció en un espai de Lebesgue $L^1([a,b])$. Diem que $v$ en $L^1([a,b])$ és una derivada dèbil de $u$ si i només si:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){\phi }^{\prime }(t)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\phi (t)dt$

per a qualsevol $\phi$ en ${ℂ}_0^{\mathrm{\infty }}([a,b])$. Esta definició està motivada per la tècnica d'integració per parts.

Generalisant a $n$ dimensions, si $u$ i $v$ es troben en l'espai $L_{loc}^1(U)$ de funcions localment integrables per a alguns conjunts oberts $U\subset {ℝ}^n$, i si $\alpha$ és un multiíndice, diem que $v$ és el $\alpha$-ésima derivada dèbil de $u$ si i només si:

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\phi =(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\phi$

per a qualsevol $\phi$ en ${ℂ}_C^{\mathrm{\infty }}(U)$, és dir, per a qualsevol funció infinitament diferenciable $\phi$ en soport compacte en $U$. Si $u$ té derivada dèbil, a sovint escrita com $D^{\alpha }u$, ya que la derivada dèbil és única (per lo manco, en un conjunt de mida zero).

Propietats

• Si dos funcions són derivades dèbils de la mateixa funció, són iguals, llevat en un conjunt de mida zero, és dir, són iguals casi per doquier. Si tenim en conte les classes d'equivalència de funcions,en la que dos funcions són equivalents si i només si són iguals en casi per doquier, llavors la derivada dèbil és única.

• Ademés, si $u$ és diferenciable en el sentit convencional, llavors la seua derivada dèbil és idèntica (en el sentit donat anteriorment) a la seua derivada convencional. Aixina, la derivada dèbil és una generalisació de la convencional. Ademés, les regles clàssiques per a les derivades de sumes i productes de funcions també són vàlides per a la derivada dèbil.

Referències

• (2001) Elliptic partial differential equations of second order, Berlin: Springer, p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations, Providence, R.I.: American Mathematical Society, p. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations, Nova York: Springer, p. 53. ISBN 0-387-95449-X.