Cuantización de Landau

Cuantización de Landau

La cuantización de Landau en mecànica quàntica és la cuantización de les òrbites de ciclotrón de partícules carregades en camps magnètics. Com a conseqüència, les partícules carregades només poden ocupar òrbites en valors discrets d'energia, cridats nivells de Landau. Els nivells de Landau són degenerados, en un número d'electrons per nivell directament proporcional a la força del camp magnètic aplicat. La cuantización de Landau és directament responsable d'oscilacions en propietats electròniques dels materials com a funció del camp magnètic aplicat. És cridada aixina pel físic soviètic Lev Landáu.

Derivació

Siga un sistema bidimensional de partícules no interactuantes en càrrega q i espin S confinat a un àrea A = L_xL_i en el pla x-i; en presència d'un camp magnètic uniforme $𝐁=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ B\end{array}\right)$ a lo llarc de l'eix z.

En unitats CGS, el Hamiltoniano del sistema és

$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\widehat{𝐩}-q\widehat{𝐀}/c{)}^2.$

Ací, p&#; és l'operador moment canònic i  és el potencial vectorial electromagnètic, el qual està relacionat en el camp magnètic per

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times \widehat{𝐀}.$

Existix llibertat de gauge en l'elecció del potencial vector per a un donat camp magnètic. El Hamiltoniano és invariante de gauge, lo que significa que agregant el gradient d'un camp escalar a  canvia la fase global de la funció d'ona una cantitat corresponent al camp escalar. No obstant les propietats físiques no es veuen influenciades per l'elecció del gauge. Per a simplificar els càlculs, elegim el gauge de Landau, que és

$\widehat{𝐀}=\left(\begin{array}{c}0\\ B\hat{x}\\ 0\end{array}\right).$

a on B=|B| i x&#; és la component x de l'operador posició.

En este gauge, el Hamiltoniano és

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}_x^2}{2m}+\frac{1}{2m}{({\hat{p}}_y-\frac{qB\hat{x}}{c})}^2.$

L'operador ${\hat{p}}_y$ commuta en este Hamiltoniano, ya que l'operador i&#; està absent per l'elecció del gauge. Per lo que l'operador ${\hat{p}}_y$ pot ser reemplaçat pel seu autovalor ħk_i.

El Hamiltoniano pot ser escrit més simplement notant que la freqüència de ciclotrón és ω_c = qB/mc, donant

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}_x^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_c^2{(\hat{x}-\frac{\hslash k_y}{m{\omega }_c})}^2.$

Est és exactament el Hamiltoniano per al oscilador harmònic quàntic, excepto que en el mínim de potencial desplaçat en l'espai per x₀ = ħk_i/mω_c.

Per a trobar les energies, note's que traslladar el potencial de l'oscilador harmònic no afecta les energies. Les energies d'este sistema són llavors idèntiques a aquelles de l'oscilador harmònic estàndart,

$E_n=\hslash {\omega }_c(n+\frac{1}{2}),n\ge 0.$

L'energia no depén del número quàntic k_i, per lo que hi haurà degeneració.

Per a les funcions d'ona, recorde's que ${\hat{p}}_y$ commuta en el Hamiltoniano. Llavors la funció d'ona es factoriza en el producte de autoestados del moment en la direcció i i estats de l'oscilador harmònic $|{\varphi }_n⟩$ desplaçats una cantitat x₀ en la direcció x:

$\Psi (x,y)=e^{i{k}_{y}y}{\varphi }_n(x-x_0).$

En definitiva, l'estat de l'electró està caracterisat per dos números quàntics, n and k_i.

Nivells de Landau

Cada conjunt de funcions d'ona en el mateix valor de n és cridat un nivell de Landau. Els efectes dels nivells de Landau són només observats quan l'energia tèrmica mija és més chicoteta que l'energia de separació de nivells, kT ≪ ħω_c, significant baixes temperatures i camps magnètics forts.

Cada nivell de Landau està degenerado pel segon número quàntic k_i. Si s'assumixen condicions periòdiques de contorn, k_i pot prendre valors

$k_y=\frac{2\pi N}{L_y}$,

a on N és un sancer. Els valors permesos de N estan ademés restringits per la condició de que el centre de força de l'oscilador, x₀, deu yacer físicament dins del sistema, 0 ≤ x₀ < L_x. Açò dona el següent ranc per a N,

$0\le N<\frac{m{\omega }_c{L}_x{L}_y}{2\pi \hslash }.$

Per a partícules en càrrega q = Ze, la cota màxima per a N pot ser simplement escrita com la relació de fluix,

$\frac{ZB{L}_x{L}_y}{(hc/e)}=Z\frac{\Phi }{{\Phi }_0},$

a on Φ₀ = hc/i és el quant de fluix fonamental i Φ = BA és el fluix a través del sistema (en àrea A = L_xL_i).

Llavors, per a partícules en espin S, el número màxim D de partícules per nivell de Landau és

$D=Z(2S+1)\frac{\Phi }{{\Phi }_0}.$

Esta expressió dona només una idea vaga dels efectes de geometria de tamany finita. Estrictament parlant, la solució estàndar de l'oscilador harmònic és només vàlida per a sistema no delimitats en la direcció x (tires infinites). Si el tamany L_x és finito, les condicions de contorn en eixa direcció donen lloc a una cuantización no estàndar en el camp magnètic, involucrant (en principi) abdós solucions a l'equació de Hermite. L'omplit d'estos nivells en molts electrons és encara un àrea d'investigació activa.

En general, els nivells de Landau són observats en sistemes electrònics a on Z=1 i S=1/2. En incrementar el camp magnètic, més i més electrons poden cabre en un nivell de Landau donat. L'ocupació del nivell de Landau més alt va des de completament ple a enterament buit, produint a oscilacions en vàries propietats electròniques(vore Efecte de De Haas–van Alphen i Efecte de Shubnikov–De Haas).

Si la separació de Zeeman és inclosa, cada nivell de Landau se separa en un parell, un per als electrons en espin dalt i un atre per als electrons en espin avall. Llavors l'ocupació de cada nivell de Landau d'espin és solament la relació de fluix D = Φ/Φ₀. L'efecte Zeeman té una influència significativa en els nivells de Landau perque les escales d'energia són similars, 2μ_BB = ħω . De totes formes, l'energia de Fermi i l'estat fonamental d'energia es mantenen pràcticament iguals en un sistema en molts nivells plens, ya que els parells de nivells d'energia separada es cancelen mútuament quan se sumen.