Cartes sobre SO(3)

Vore també: Grup de rotació SO(3)

En matemàtiques, el grup ortogonal en tres dimensions, també conegut com grup de rotació SO(3), és un eixemple natural d'un varietat. Les diverses cartes sobre SO(3) configuren sistemes de coordenades rivals: en este cas, no es pot dir que existixca un conjunt preferit de paràmetros que descriguen qualsevol rotació. El sistema dispon de tres graus de llibertat, per lo que la dimensió de SO(3) és tres. En numeroses aplicacions s'usa un o un atre sistema de coordenades, i sorgix la pregunta de cóm convertir les coordenades d'un sistema donat en les d'un atre.

L'espai de rotacions

En geometria, el grup de rotació és el grup de tots els moviment de rotació sobre l'orige del espai euclídeo tridimensional R³ baixe l'operació de composició. Per definició, una rotació sobre l'orige és una aplicació llineal que conserva la llongitut dels vectorés (és una isometría) i conserva l'orientació (és dir, la quiralidad) de l'espai. Una transformació que preserva la llongitut pero que invertix l'orientació es denomina rotació impròpia. Tota rotació impròpia de l'espai euclídeo tridimensional és una rotació seguida per una reflexió respecte a un pla que passa a través de l'orige.

La composició de dos rotacions dona com resultat una atra rotació; cada rotació té una rotació inversa única; i la funció identitat satisfà la definició d'una rotació. Per les propietats anteriors, el conjunt de totes les rotacions és un grup baixe la funció de composició d'isometría. Ademés, el grup de rotació té una estructura de varietat natural per a la que les operacions del grup són suaus; aixina que de fet és un Grup de Lie. El grup de rotació a sovint es denota SO(3) per les raons explicades més alvance.

L'espai de rotacions és isomorfo en el conjunt d'operadors de rotació i el conjunt de matrius ortonormals en determinant +1. També és isomorfo en el conjunt de cuaterniones en el seu producte intern, i també és equivalent al conjunt de vectores de rotació, en una operació de composició interna diferent donada pel producte de les seues matrius equivalents.

La notació dels vectores de rotació sorgix del teorema de rotació de Euler que indica que qualsevol rotació en tres dimensions es pot descriure per mig d'una rotació d'algun àngul al voltant d'algun eix. Tenint en conte açò, es pot especificar l'eix d'una d'estes rotacions en dos ànguls, i es pot usar el radi del vector per a especificar l'àngul de rotació. Estos vectores representen un bola en 3D en una topología inusual.

Esta esfera sòlida 3D és equivalent a la superfície d'una esfera 4D, que també és una varietat 3D. Per a fer esta equivalència, es té que definir cóm es va a representar una rotació en esta superfície 4D incrustada.

La hiperesfera de rotacions

Archiu:Space of rotations.png

Dos rotacions segons diferents ànguls i diferents eixos en l'espai de rotacions. La llongitut del vector està relacionada en la magnitut de la rotació

Visualisació de la hiperesfera

És interessant considerar l'espai com una esfera tridimensional S³, el llímit d'un disc en l'espai euclidiano en 4 dimensions. Per a fer açò, es té que definir cóm es representa una rotació en esta superfície 4D embebida.

La forma en que es pot usar el radi per a especificar l'àngul de rotació no és directa. Pot relacionar-se en círculs de latitut en una esfera en un pol nort definit, i s'explica a continuació.

Començant en el pol nort d'una esfera en l'espai tridimensional, s'especifica el punt en el pol nort per a representar la rotació identitat. En el cas de la rotació identitat, no es definix cap eix de rotació, i l'àngul de rotació (zero) és irrellevant. Una rotació en el seu eix contingut en el pla xy i un àngul de rotació molt chicotet es pot especificar per mig d'un tall a través de l'esfera paralela al pla xy i molt prop del pol nort. El círcul definit per este tall serà molt menut, corresponent al chicotet àngul de rotació. A mida que els ànguls de rotació es fan més grans, la rodaja es mou cap al sur i els círculs es fan més grans, fins que s'alcança l'equador de l'esfera, que es correspondrà en un àngul de rotació de 180 graus. Continuant cap al sur, els radis dels círculs ara es tornen més menuts (corresponents al valor absolut de l'àngul de rotació considerat com un número negatiu). Finalment, a mida que s'alcança el pol sur, els círculs es contrauen una volta més a la rotació identitat, que també s'especifica com el punt en el pol sur. Observe's que en esta visualisació es poden vore una série de característiques de dites rotacions i les seues representacions.

L'espai de rotacions és continu, cada rotació té un veïnat de rotacions que són casi iguals, i este veïnat es torna plana a mida que el veïnat es reduïx.

Atres denominacions

Archiu:Hypersphere of rotations.svg

La hiperesfera de rotacions per a les rotacions que tenen un eix "horisontal" (en el pla xy)

Ademés, cada rotació està representada per dos punts antípodes en l'esfera, que estan en els extrems oposts d'una llínea que passa pel centre de la pròpia esfera. Açò reflectix el fet de que cada rotació es pot representar com una rotació sobre algun eix, o, de manera equivalent, com una rotació negativa sobre un eix que apunta en la direcció oposta (circumstància denominada doble recobriment). La "latitut" d'un círcul que representa un àngul de rotació particular serà la mitat de l'àngul representat per eixa rotació, ya que a mida que el punt es mou des del pol nort al sur, la latitut varia de zero a 180 graus, mentres que per a l'àngul de rotació el ranc varia de 0 a 360 graus (la "llongitut" d'un punt representa un eix de rotació en particular). No obstant, es deu tindre en conte que este conjunt de rotacions no està tancat per l'operació de composició.

Dos rotacions successives en eixos en el pla xy no donaran necessàriament una rotació l'eix de la qual es trobe en el pla xy, per lo que no es poden representar com un punt en l'esfera. Este no serà el cas en una rotació general en l'espai de tres dimensions, que forma un conjunt tancat baixe la composició.

Esta visualisació es pot estendre a una rotació general en l'espai tridimensional. La rotació identitat és un punt, i un chicotet àngul de rotació al voltant d'algun eix es pot representar com un punt en una esfera en un radi menut. A mida que l'àngul de rotació creix, l'esfera creix, fins que l'àngul de rotació alcança els 180 graus, en el punt dels quals l'esfera comença a contraure's, convertint-se en un punt a mida que l'àngul s'aproxima a 360 graus (o zero graus des de la direcció negativa). Este conjunt d'esferes en expansió i contracció representa una hiperesfera en l'espai tridimensional (una esfera de dimensió 3).

De la mateixa manera que en l'eixemple més simple de dalt, cada rotació representada com un punt en la hiperesfera es correspon en el seu punt antipodal en eixa hiperesfera. La "latitut" en la hiperesfera serà la mitat de l'àngul de rotació corresponent, i el veïnat de qualsevol punt es tornarà "més plana" (és dir, estarà representada per un espai euclídeo de punts en 3D) a mida que el veïnat es contraga.

Este comportament es compara en el conjunt de cuaterniones unitaris: un cuaternión general representa un punt en un espai de quatre dimensions, pero en restringir-ho per a que tinga una magnitut unitat, s'obté un espai tridimensional equivalent a la superfície d'una hiperesfera. La magnitut del cuaternión unitari serà l'unitat, corresponent a una hiperesfera de radi unitari.

La part vectorial d'un cuaternión unitari representa el radi de la 2 esfera corresponent a l'eix de rotació, i la seua magnitut és el sen de la mitat de l'àngul de rotació. Cada rotació està representada per dos cuaterniones unitaris de signe opost i, com en l'espai de rotacions en tres dimensions, el producte de dos cuaterniones unitaris produïx un nou cuaternión unitari. Ademés, l'espai dels cuaterniones unitaris és "pla" en qualsevol veïnat infinitesimal d'un cuaternión unitari dau.

Vore també

• Atles (matemàtiques)
• Rotació (matemàtiques)
• Formalisació de la rotació en tres dimensions