Teorema de rotació de Euler

Teorema de rotació de Euler

En geometria la teorema de la rotació de Euler diu que, en un espai tridimensional, qualsevol moviment d'un sòlit rígit que mantinga fix un punt, també deu deixar fix tot un eix, que conté al punt. Açò també vol dir que qualsevol composició de rotacions sobre un sòlit rígit en eixos arbitraris és equivalent a una sola rotació sobre un nou eix, cridat pol de Euler. En ser la combinació de rotacions una atra rotació, el conjunt de les operacions de rotació té una estructura algebraica coneguda com grup. En concret al grup de rotacions se li coneix com "grup especial ortogonal de dimensió 3" o SO(3)

La teorema pren el seu nom de Leonhard Euler, que ho va demostrar en 1775 en un argument geomètric. L'extensió d'este concepte a la cinemàtica dona el concepte d'eix instantàneu de rotació.

En térmens d'àlgebra llineal, açò també vol dir que el producte de dos matrius de rotació és també una matriu de rotació i que totes elles tenen un únic autovalor real que deu ser l'unitat.

Teorema de Rotació de Euler (1776)

Construcció mostrant els punts de la teorema per a una esfera els ànguls de la qual de Euler són [ψ,θ,φ]. El triedro blau és solidari a l'esfera fixa i el roig a la rotada. La llínea de nodos N mostra el punt A de la teorema. Els arcs Aa i Aα sò necessàriament iguals

Euler enuncia la seua teorema de la següent forma:

Theorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diameter, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.

que en traducció lliure seria:

Rotando una esfera de forma arbitrària al voltant del seu centre, sempre és possible trobar un diàmetro la posició del qual despuix de la rotació és igual que l'inicial.

Per a provar açò Euler primer pren un círcul màxim de l'esfera fixa i el círcul màxim corresponent despuix de la rotació en l'esfera rotada. Estos dos círculs es intersecan en dos punts oposts. Es tria un qualsevol A. Este punt està en el círcul inicial després és transportat a un atre punt a del segon círcul. Pero també, A està en el círcul transportat, i per tant correspon a un punt α en el círcul inicial. En este punt, note's que l'arc aA deu ser igual a l'arc Aα.

Ara Euler necessita un punt O en la superfície de l'esfera situat de forma simètrica respecte de a i A. Si tal punt existix deu complir:

• les distàncies OA i Oa són iguals; els arcs Oa i OA també;
• els arcs OA i Oa deuen estar igualment inclinats cap als círculs i els arcs OAa i OAα deuen ser iguals.

Euler definix dos plans:

• el de simetria de l'àngul αAa (que passa pel centre C de l'esfera), i
• el de simetria de l'arc Aa (que també passa per C).

Proposició. Estos dos plans es intersecan en un diàmetro de l'esfera, el qual permaneix fix despuix del moviment.

Dem. Els plans es intersecan en un diàmetro perque abdós passen pel centre de l'esfera. Siga O qualsevol dels punts (hi ha dos) de cort del diàmetro en la superfície de l'esfera. Com αA es mou a Aa i els triànguls tenen els mateixos ànguls, el triàngul OαA es convertix en el triàngul OAa. Per tant O deu permanéixer fix despuix del moviment. Lo mateix per al centre de l'esfera i el punt antípoda de O.

Demostració algebraica

Una demostració matricial és possible tenint en conte que una rotació es representa per una matriu ortogonal, és dir, una tal que:

${𝐑}^{\mathrm{T}}𝐑=𝐑{𝐑}^{\mathrm{T}}=𝐄,$

a on I és l'identitat i T indica la trasponer. Una matriu ortogonal té determinant ±1, sent el +1 el característic de les de rotacions.

$1=\det (𝐄)=\det ({𝐑}^{\mathrm{T}}𝐑)=\det ({𝐑}^{\mathrm{T}})\det (𝐑)=\det (𝐑{)}^2⟹\det (𝐑)=\pm 1.$

La matriu de rotació R té a lo manco un autovector n en autovalor λ = 1.

$\det (-𝐑)=(-1{)}^3\det (𝐑)=-\det (𝐑)\text{and}\det ({𝐑}^{-1})=1,$

tenim

$\begin{array}{cc}\det (𝐑-𝐄)=& \det ((𝐑-𝐄{)}^{\mathrm{T}})=\det (({𝐑}^{\mathrm{T}}-𝐄))=\det (({𝐑}^{-1}-𝐄))=\det (-{𝐑}^{-1}(𝐑-𝐄))\\ =& -\det ({𝐑}^{-1})\det (𝐑-𝐄)=-\det (𝐑-𝐄)⟹\det (𝐑-𝐄)=0\end{array}$

després λ = 1 és raïl de l'equació

$\det (𝐑-\lambda 𝐄)=0\text{for}\lambda =1.$

Hi haurà a lo manco un vector n, per al que

$(𝐑-𝐄)𝐧=\mathrm{𝟎}⟺𝐑𝐧=𝐧$

La llínea donada per l'espai de tots els autovectores de l'autovalor 1 és l'eix de Euler. Esta teorema solament és vàlit quan la dimensió de l'espai real considerat és major estrictament que 2 (és prou evident que la dimensió ha de complir la condició anterior perque en el pla bidimensional no queda cap eix invariante baix rotacions).

La prova algebraica de que açò no pot donar-se en el pla bidimensional és la següent: si considerem la matriu per antonomàsia de SO(2), la matriu de rotació, i li apliquem l'equació que iguala a 0 el polinomi característic de la transformació, tenim que:

$\det (R)={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\cos \theta +1=0\Rightarrow 1-\cos \theta =0\Rightarrow \theta =0$

Esta conclusió nos informa del fet que no existix cap rotació (solament la nula -que pugues no considerar-se rotació des del punt de vista del moviment-) tal que un autovalor de la matriu siga l'unitat. Açò prova que la teorema de rotació de Euler no té anàlec en el pla, com calia esperar.