Biyección, injecció i sobreyección

Aplicació	Sobreyectiva	No sobreyectiva
Inyectiva	Biyectiva	Solament inyectiva
No inyectiva	Solament sobreyectiva

En matemàtiques, injeccions, sobreyecciones i biyecciones són classes de funcions que es distinguixen per la forma en que les seues arguments (expressions del domini d'entrada) i imàgens (expressions d'eixida del codominio) estan relacionades o aplicades entre sí.

Una funció aplica elements del seu domini a elements en el seu codominio. Donada una funció $f:X\to Y$

• La funció és inyectiva (un-a-un) si cada element del codominio és aplicat per com a molt un element del domini. Una funció inyectiva és una injecció. Notablement:

$\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in X,f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime }.$

O, de manera equivalent (utilisant una trasposición llògica),

$\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in X,x\ne x^{\prime }\Rightarrow f(x)\ne f(x^{\prime }).$

• La funció és sobreyectiva (en) si cada element del codominio és aplicat per a lo manco un element del domini. (És dir, l'image i el codominio de la funció són iguals). Una funció sobreyectiva és una sobreyección. Notablement:

$\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\exists }x\in X\text{ tal que }y=f(x).$

• La funció és biyectiva (un-a-un i en o en correspondència un a un) si cada element del codominio és aplicat per exactament un element del domini. (És dir, la funció és tant inyectiva com sobreyectiva). Una funció biyectiva és una biyección.

Una funció inyectiva no necessita ser sobreyectiva (no tots els elements del codominio poden estar associats en arguments), i una funció sobreyectiva no necessita ser inyectiva (algunes imàgens poden estar associades en més d'un argument). Les quatre combinacions possibles de característiques inyectivas i sobreyectivas s'ilustren en els diagrames de la dreta.

Inyectiva

Artícul principal → Funció inyectiva.

Vore també: Funció matemàtica

Composició inyectiva: la segona funció no necessita ser inyectiva.

Una funció és inyectiva (un-a-un) si cada element possible del codominio és aplicat per un màxim d'un argument. De forma equivalent, una funció és inyectiva si assigna arguments distints a imàgens distintes. Una funció inyectiva és una injecció. La definició formal és la següent:

La funció $f:X\to Y$ és bicondicionalmente inyectiva para tots els $x,x^{\prime }\in X$, i es té que $f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime }.$

• Una funció f: X → I és inyectiva si i solament si X està buit o si f és invertible cap a l'esquerra; és dir, existix una funció g: f(X) → X tal que g o f = funció d'identitat en X. Ací f(X) és l'image de f.
• Ya que cada funció és sobreyectiva quan la seua codominio està restringit a la seua image, cada injecció induïx una biyección en la seua image. Més precisament, cada injecció f: X → I es pot factorizar com una biyección seguida d'una inclusió de la següent manera: siga f_R: X → f(X), siga f en codominio restringit a la seua image, i siga i: f(X) → I l'inclusió de f(X) en I. Llavors f = i o f_R. Es dona una doble factorización per a les sobreyecciones.
• La composició de dos injeccions és novament una injecció, pero si g o f són inyectivas, llavors solament es pot concloure que f és inyectiva, segons es pot observar en la figura de la dreta.
• Cada encaix és inyectivo.

Sobreyección

Artícul principal → Funció sobreyectiva.

Composició sobreyectiva: la primera funció no necessita ser sobreyectiva.

Una funció és sobreyectiva (en) si cada image possible és aplicada per a lo manco un argument. En atres paraules, cada element en el codominio té conjunt image no buit. De forma equivalent, una funció és sobreyectiva si la seua image és igual a la seua codominio. Una funció sobreyectiva és una sobreyección. La definició formal és la següent:

La funció $f:X\to Y$ és bicondicionalmente sobreyectiva si para tot $y\in Y$, existix un $x\in X$ tal que $f(x)=y.$

• Una funció f: X → I és sobreyectiva si i solament si és invertible a la dreta, és dir, si i solament si hi ha una funció g: I → X tal que f o g= funció identitat en I (esta afirmació és equivalent al axioma d'elecció).
• En colapsar tots els arguments que s'assignen a una image fixa donada, cada supressió induïx una biyección definida en un cocient del seu domini. Més precisament, cada supressió f: X → I es pot factorizar com una no biyección seguida d'una biyección.

Sean X/ les classes d'equivalència de X baixe la següent relació d'equivalència: x i si i solament si f (x) = f (i). Equivalentement, X/ és el conjunt de totes les imàgens prèvies en f. Siga P (): X → X/ l'aplicació de la proyecció que relaciona cada x en X a la seua classe d'equivalència [x], i que f_P:X/ → Isiga la funció ben definida donada per f_P ([x]) = f (x). Llavors f = f_P o P(). Una doble factorización es dona per a les injeccions anteriors.

• La composició de dos sobreyecciones és una volta més una sobreyección, pero si g o f és sobreyectiva, llavors solament es pot concloure que g és sobreyectiva, segons s'observa en la figura.

Vore també

• Funció biyectiva
• Prova de la llínea horisontal
• Mòdul inyectivo
• Funció inyectiva
• Permutació