Prova de la llínea horisontal

Archiu:Horizontal-test-ok.png Passa la prova (inyectiva)

Archiu:Horizontal-test-fail.png Falla la prova (no inyectiva)

En matemàtiques, la prova de la llínea horisontal és una comprovació utilisada per a determinar si una funció és inyectiva (és dir, si presenta una correspondència un a un entre els valors del seu domini i de la seua image).

En el càlcul

Una llínea horisontal és una llínea recta i sense pendent que discorre d'esquerra a dreta. Donada una funció $f:ℝ\to ℝ$ (és dir, una aplicació dels número real en els número real), es pot determinar si és una funció inyectiva observant les llínees horisontals que es creuen en la gràfica de la funció. Si alguna llínea horisontal $y=c$ talla el gràfic en més d'un punt, la funció no és inyectiva. Per a vore açò, basta tindre en conte que els punts d'intersecció tenen el mateix valor (perque es troben en la llínea $y=c$) pero diferents valors de $x$, lo que per definició significa que la funció no pot ser inyectiva.

Es poden usar variants de la prova de la llínea horisontal per a determinar si una funció és sobreyectiva o biyectiva:

• La funció f és sobreyectiva (és dir, s'aplica en) bicondicionalmente si el seu gràfic interseca qualsevol llínea horisontal a lo manco una volta.
• La funció f és biyectiva si i solament si qualsevol llínea horisontal es creua en el gràfic exactament una volta.

En la teoria de conjunts

Considere's una funció $f:X\to Y$ en la seua gràfica corresponent com un subconjunt del producte cartesiano $X\times Y$. Siguen les llínees horisontals en $X\times Y$: $\{(x,y_0)\in X\times Y:y_0\text{ es constante}\}=X\times \{y_0\}$. La funció f és inyectiva bicondicionalmente, si cada llínea horisontal interseca el gràfic com a màxim una volta. En este cas, es diu que el gràfic passa la prova de la llínea horisontal. Si alguna llínea horisontal interseca el gràfic més d'una volta, la funció falla la prova de la llínea horisontal i no és inyectiva.

Vore també

• Prova de la llínea vertical
• Funció recíproca
• Funció monòtona