Aproximació de Boussinesq (ones d'aigua)
Este artícul tracta sobre l'aproximació de Boussinesq per a ones en una superfície de decorregut en moviment lliure. Per a atres aplicacions, veja l'aproximació de Boussinesq
En dinàmica de decorreguts, la aproximació de Boussinesq per a les ones d'aigua és una aproximació vàlida per a les ones débilment no llineals i prou llargues. L'aproximació rep el seu nom de Joseph Boussinesq, qui les va derivar per primera volta en resposta a l'observació de John Scott Russell de l'ona de translació, també coneguda com a «ona solitària» o solitón. El document de 1872 de Boussinesq introduïx les equacions que ara es coneixen com les equacions de Boussinesq.[1]
L'aproximació de Boussinesq per a les ones d'aigua o ones, té en conte l'estructura vertical de la velocitat de fluix horisontal i vertical. Açò dona lloc a equacions diferencials parcials no llineals, denominades equacions de tipo Boussinesq, que incorporen la dispersió de freqüències, a diferència de les equacions d'aigües poc profundes, que no són dispersivas de la freqüència. En l'ingenieria costera, les equacions de tipo Boussinesq s'utilisen freqüentment en models informàtics per a la simulació de les ones d'aigua en mars poc profundes i ports.
Si be l'aproximació de Boussinesq és aplicable a les ones prou llargues, és dir, quan la llongitut d'ona és gran en comparació a la profunditat de l'aigua, l'expansió de Stokes és més apropiada per a les ones curtes, solament quan la llongitut d'ona és del mateix orde que la profunditat de l'aigua, o més curta.
Aproximació de Boussinesq
[editar | editar còdic]
L'idea essencial en l'aproximació de Boussinesq és l'eliminació de la coordenada vertical de les equacions de fluix, conservant al mateix temps algunes de les influències de l'estructura vertical del fluix baix les ones d'aigua. Açò és útil perque les ones es propaguen en el pla horisontal i tenen un comportament diferent, i no ondulatorio, en la direcció vertical. A sovint, com en el cas de Boussinesq, l'interés se centra principalment en la propagació de les ones.
Esta eliminació de la coordenada vertical va ser realisada per primera volta per Joseph Boussinesq en 1871, per a construir una solució aproximada per a l'ona solitària o ona de translació. Posteriorment, en 1872, Boussinesq va deduir les equacions conegudes hui en dia com les «equacions de Boussinesq».
Els passos en l'aproximació de Boussinesq són:
- Les séries de Taylor estan fetes en la velocitat del fluix horisontal i vertical, o potencial de velocitat, al voltant d'un cert obstàcul o elevació.
- Esta expansió o «série de Taylor» està reduïda a un número finito de térmens
- La conservació de la massa —vejau l'equació de continuïtat— per a un decorregut incompresible i la condició de rotacional zero, és dir, per a un «fluix irrotacional», s'utilisen per a substituir les derivades parcials verticals de les cantitats en l'expansió de Taylor per derivades parcials horisontals.
A partir d'açò, s'aplica l'aproximació de Boussinesq a les equacions de fluix restants, a fi d'eliminar la dependència de la coordenada vertical. Com a resultat, les equacions diferencials parcials resultants estan solament en térmens de funcions de les coordenades horisontals, i del temps.
Com a eixemple, considerem el fluix potencial sobre un llit horisontal en el pla (x,z) sent (x) i (z)les coordenades horisontals i verticals respectivament. La base està situada en z = −h a on h és la profunditat mija de l'aigua.
Una expansió de Taylor Basada en el potencial de velocitat φ(x,z,t)) al voltant del nivell del llit z = −h:[1]
- ___MATH_0___
a on φb(x,t) és el potencial de velocitat en el llit. Utilisant l'equació de Laplace para φ, com a vàlida para fluix incompresible, s'obté:
- ___MATH_1___
ya que la velocitat vertical ∂φ / ∂z és zero en el llit horisontal impermeable per a z = −h. Esta série pot posteriorment reduir-se a un número finito de térmens.
Equacions originals de Boussinesq
[editar | editar còdic]Derivació
[editar | editar còdic]Per a les ones d'aigua en un decorregut incompresible i el fluix irrotacional en el pla (x,z), les condiciones llímit en l'elevació de la superfície lliure z = η(x,t) són:[2]
- ___MATH_2___
a on:
- o és la component horisontal de la velocitat de fluix o = ∂φ / ∂x,
- w és la component vertical de la velocitat de fluix w = ∂φ / ∂z,
- g és l' acceleració de la gravetat.
Ara l'aproximació de Boussinesq per al potencial de velocitat φ, com s'ha indicat anteriorment, s'aplica en estes condiciones llímit. Ademés, en les equacions resultants només es conserven els térmens llineals i quadràtics sobre η i ob, en ob = ∂φb / ∂x, l'una velocitat horisontal en el llit de cota z = -h. Se supon que els térmens d'orde cúbic i superior són insignificants. Llavors s'obtenen les següents equacions diferencials parcials:
- conjunt A - Boussinesq (1872), equació (25)
- ___MATH_3___
Este conjunt d'equacions s'ha deduït per a un llit horisontal pla, i.i. la profunditat mija h és una constant independent de la posició x. Quan els segons térmens de les equacions anteriors es posen a zero, es reduïxen a les «equacions d'aigües poc profundes».
- conjunt B - Boussinesq (1872), equació (26)
- ___MATH_4___
A partir dels térmens entre paréntesis, l'importància de la no linealidad de l'equació pot expressar-se en térmens del número de Ursell. En cantitats adimensionales, utilisant la profunditat de l'aigua h i l'acceleració gravitatoria g per a la no dimensionalidad, esta equació diu, despuix de la normalisació:[3]
- ___MATH_5___
en:
| ___MATH_6___ | : l'elevació de la superfície adimensional, |
| ___MATH_7___ | : el temps adimensional, |
| ___MATH_8___ | : la posició horisontal adimensional. |
A = Boussinesq (1872), equació (25),
B = Boussinesq (1872), equació (26),
C = teoria d'ones llineals completes, vore dispersió (ones d'aigua)
Dispersió de la freqüència llineal
[editar | editar còdic]Les ones d'aigua de diferents llongituts d'ona viagen en diferents velocitats de fase, fenomen conegut com a «dispersió de freqüència». En el cas de l' amplitut d'ona infinitesimal, la terminologia és dispersió llineal de la freqüència. Les característiques de dispersió de freqüència d'una equació de tipo Boussinesq poden utilisar-se per a determinar la gama de llongituts d'ona, per a la qual és una aproximació vàlida.
Les característiques llineals de dispersió de freqüència per al conjunt anterior A d'equacions són:[4]
- ___MATH_9___
sent:
- c la velocitat de fase,
- k el número (k = 2π / λ, with λ the llongitut d'ona).
l'error relatiu en la velocitat de fase c per al conjunt A, en comparació a la «teoria llineal per a les ones d'aigua», és menys del 4% per a un número relativa kh < ½ π. Per tant, en les aplicacions d'ingenieria, el conjunt A és vàlit per a llongituts d'ona λ majors que 4 voltes la profunditat de l'aigua h.
Les característiques llineals de la dispersió de freqüència de l'equació B són:[4]
- ___MATH_10___
L'error relatiu en la velocitat de fase per a l'equació B és menor del 4% per a kh < 2π/7, equivalent a les llongituts d'ona λ més llargues que 7 voltes la profunditat de l'aigua h, cridades ones relativament llargues.[5] El conjunt original de dos equacions diferencials parcials (Boussinesq, 1872, equació 25, vejau el conjunt anterior) no té este defecte.
Les equacions d'aigües poc profundes tenen un error relatiu en la velocitat de fase inferior al 4% per a llongituts d'ona λ superiors a 13 voltes la profunditat de l'aigua h.
Referències
[editar | editar còdic]- Este artícul conté una traducció derivada de «Aproximación de Boussinesq (ondas de agua)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.