Equacions d'aigües poc profundes

Erro al crear miniatura:

Resultat d'un model d'equació d'aigües poc profundes de l'aigua en una banyera. L'aigua experimenta cinc salpicaduras que generen ones gravitacionals superficials que es propaguen llunt dels llocs de les salpicaduras i es reflectixen en les parets de la banyera.

Les equacions d'aigües someras són un conjunt d' equacions diferencials parcials hiperbòliques (o parabòliques si es considera el cisallament viscós) que descriuen el fluix per baix d'una superfície de pressió en un decorregut (a voltes, pero no necessàriament, una superfície lliure). Les equacions d'aigües someras en forma unidireccional també es denominen equacions de Saint-Venant, en honor a Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (vore la secció relacionada més alvance).

Les equacions es deriven de l'integració en profunditat de les equacions de Navier-Stokes, en el cas de que l'escala de llongitut horisontal siga molt major que la vertical. Baixe esta condició, la conservació de la massa implica que l'escala de velocitat vertical del decorregut és chicoteta comparada en l'escala de velocitat horisontal. Es pot demostrar a partir de l'equació del moment que els gradient de pressió verticals són casi hidrostàtics, i que els gradient de pressió horisontals es deuen al desplaçament de la superfície de pressió, lo que implica que el camp de velocitat horisontal és constant en tota la profunditat del decorregut. L'integració vertical permet eliminar la velocitat vertical de les equacions. D'esta manera, s'obtenen les equacions d'aigües poc profundes.

Encara que el terme de velocitat vertical no està present en les equacions d'aigües poc profundes, cal tindre en conte que esta velocitat no és necessàriament zero. Es tracta d'una distinció important perque, per eixemple, la velocitat vertical no pot ser nula quan el sol canvia de profunditat i, per tant, si fora nula, només els sols plans podrien utilisar-se en les equacions d'aigües poc profundes. Una volta que s'ha trobat una solució (és dir, les velocitats horisontals i el desplaçament de la superfície lliure), la velocitat vertical pot recuperar-se per mig de l'equació de continuïtat.

Les situacions en la dinàmica de decorreguts en les que l'escala de llongitut horisontal és molt major que l'escala de llongitut vertical són comunes, per lo que les equacions d'aigües poc profundes són àmpliament aplicables. S'utilisen en la força de Coriolis en la modelización atmosfèrica i oceànica, com a simplificació de les equacions primitives del fluix atmosfèric.

Els models d'equacions d'aigües someras només tenen un nivell vertical, per lo que no poden comprendre directament cap factor que varie en l'altura. No obstant, en els casos en que l'estat mig és suficientment simple, les variacions verticals poden separar-se de les horisontals i varis conjunts d'equacions d'aigües someras poden descriure l'estat.

Equacions

Erro al crear miniatura:

Un diagrama unidimensional que representa el model d'aigües poc profundes.

Forma de conservació

Les equacions d'aigües poc profundes es deriven de les equacions de conservació de la massa i conservació del moment llineal (les equacions de Navier-Stokes), que es mantenen inclús quan es trenquen els supòsits d'aigües poc profundes, com a través d'un bot hidràulic. En el cas d'un llit horisontal, en unes forces de Coriolis, de fricció i viscosidad despreciables, les equacions d'aigües someras són: $$\begin{array}{cc}\frac{\partial (\rho \eta )}{\partial t}& +\frac{\partial (\rho \eta u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho \eta v)}{\partial y}=0,\\ \frac{\partial (\rho \eta u)}{\partial t}& +\frac{\partial }{\partial x}(\rho \eta u^2+\frac{1}{2}\rho g{\eta }^2)+\frac{\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}=0,\\ \frac{\partial (\rho \eta v)}{\partial t}& +\frac{\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}(\rho \eta v^2+\frac{1}{2}\rho g{\eta }^2)=0.\end{array}$$ Ací η és l'altura total de la columna de decorregut (profunditat instantànea del decorregut en funció de x, i i t), i el vector 2D (o, v) és la velocitat de fluix horisontal del decorregut, promediada a través de la columna vertical. Ademés g és l'acceleració deguda a la gravetat i ρ és la densitat del decorregut. La primera equació es deriva de la conservació de la massa, les dos segones de la conservació del moment.

Forma de no-conservació

Expandint les derivades en lo anterior usant la regla del producte, s'obté la forma no conservativa de les equacions d'aigües someras. Com les velocitats no estan subjectes a una equació de conservació fonamental, les formes no conservativas no es mantenen a través d'un choc o bot hidràulic. També s'inclouen els térmens apropiats per a les forces de Coriolis, fricció i viscosidad, per a obtindre (per a una densitat de decorregut constant): $$\begin{array}{cc}\frac{\partial h}{\partial t}& +\frac{\partial }{\partial x}((H+h)u)+\frac{\partial }{\partial y}((H+h)v)=0,\\ \frac{\partial u}{\partial t}& +u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}-fv=-g\frac{\partial h}{\partial x}-ku+\nu (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}),\\ \frac{\partial v}{\partial t}& +u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+fu=-g\frac{\partial h}{\partial y}-kv+\nu (\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}),\end{array}$$ a on:

o	és la velocitat en ladirección x, o velocitat zonal
v	és la velocitat en ladirección i , o velocitat meridional
H	és l'altura mija de la superfície de pressió horisontal
h	és la desviació de l'altura de la superfície de pressió horisontal sobre la seua altura mija, a on h: η(x, i, t) = H(x, i) + h(x, i, t)
b	és l'altura topogràfica des d'una referència D, a on b: H(x, i) = D + b(x,i)
g	és l'acceleració deguda a la gravetat
f	és el coeficient de Coriolis associat en la força de Coriolis. En la Terra, f és igual a 2Ω sense(φ), a on Ω és la velocitat de rotació angular de la Terra (π/12 radians/hora), i φ és la latitut
k	és el coeficient d'arrastre per viscosidad
ν	és la viscosidad cinemàtica

Archiu:Shallow water equations - one splash.webm A sovint ocorre que els térmens quadràtics en o i v, que representen l'efecte de l'advección a granel, són menuts en comparació als atres térmens. Açò es diu equilibri geostrófico, i equival a dir que el número de Rossby és menut. Suponent també que l'altura de l'ona és molt chicoteta comparada en l'altura mija (h ≪ H), es té (sense forces viscoses laterals): $$\begin{array}{cc}\frac{\partial h}{\partial t}& +H(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})=0,\\ \frac{\partial u}{\partial t}& -fv=-g\frac{\partial h}{\partial x}-bu,\\ \frac{\partial v}{\partial t}& +fu=-g\frac{\partial h}{\partial y}-bv.\end{array}$$

Plantilla:AnchorEquacions unidimensionals de Saint-Venant

Les equacions unidimensionals (1-D) de Saint-Venant varen ser derivades per Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, i s'utilisen comunament per a modelar el fluix en canal obert transitori i l' escorrentía superficial. Poden considerar-se com una contracció de les equacions bidimensionales (2-D) d'aigües poc profundes, que també es coneixen com a equacions bidimensionales de Saint-Venant. Les equacions de Saint-Venant 1-D contenen fins a cert punt les principals característiques de la forma de la secció travessera del canal.

Les equacions 1-D s'utilisen àmpliament en models informàtics com TUFLOW, Mascaret (EDF), lang=és SIC (Irstea), HEC-RAS, SWMM5, ISIS, InfoWorks, Flood Modeller, SOBEK 1DFlow MIKE 11, i MIKE SHE perque són significativament més fàcils de resoldre que les equacions completes d'aigües poc profundes. Les aplicacions comunes de les equacions 1-D de Saint-Venant inclouen enrutamiento d'inundacions a lo llarc dels rius (incloent l'evaluació de les mides per a reduir els riscs d'inundació), l'anàlisis del trencament d'assuts, els polsos de tormenta en un canal obert, aixina com la escorrentía de la tormenta en el fluix terrestre.

Equacions

Erro al crear miniatura:

Secció travessera d'un canal obertPlantilla:Anchor

El sistema d'equacions diferencials parcials que descriuen el fluix incompresible 1-D en un canal obert de secció travessera arbitrària -tal com va ser derivat i plantejat per Saint-Venant en el seu artícul de 1871 (equacions 19 i 20)- és: Plantilla:NumBlk and Plantilla:NumBlk a on x és la coordenada espacial a lo llarc de l'eix del canal, t denota el temps, A(x,t) és l'àrea de la secció travessera del fluix en l'ubicació x, o(x,t) és la velocitat de fluix, ζ(x,t) és l'elevació de la superfície lliure i τ(x,t) és l'esforç tallant de la paret a lo llarc del perímetro mullat P(x,t) de la secció travessera en x. Ademés ρ és la densitat del decorregut (constant) i g és l'acceleració gravitatoria.

La solució del sistema d'equacions hiperbòlic (Plantilla:EquationNote)–(Plantilla:EquationNote) s'obté a partir de la geometria de les seccions travesseres, proporcionant una relació funcional entre l'àrea de la secció travessera A i l'elevació de la superfície ζ en cada posició x. Per eixemple,Per eixemple, per a una secció travessera rectangular, en esgambi de canal constant B i elevació del llit del canal z _b, l'àrea de la secció travessera és: A = B (ζ - z_b) = B h. La profunditat instantànea de l'aigua és h(x,t) = ζ(x,t) − z_b(x) en z_b(x) el nivell del llit (és dir, l'elevació del punt més baix del llit per damunt del data, vore la figura de secció travessera). Per a parets de canals sense moviment, l'àrea de la secció travessera A en l'equació (Plantilla:EquationNote) pot escriure's com: $$A(x,t)=\underset{0}{\overset{h(x,t)}{\int }}b(x,h^{\prime })d{h}^{\prime },$$ en b(x,h) l'esgambi efectiu de la secció travessera del canal en l'ubicació x quan la profunditat del decorregut és h - aixina que b(x, h) = B(x) per a canals rectangulars.

L'esforç tallant de la paret τ depén de la velocitat del fluix o, poden relacionar-se utilisant, per eixemple, l'equació de Darcy-Weisbach, la fòrmula de Manning o la fòrmula de Chézy.

Ademés, l'equació (Plantilla:EquationNote) és l'equació de continuïtat, que expressa la conservació del volum d'aigua per a este decorregut homogéneu incompresible. L'equació (Plantilla:EquationNote) és l'equació de momentum, que dona l'equilibri entre les forces i les taxes de canvi del momentum.

La pendent del llit S(x), la pendent de fricció S_f(x, t) i el radi hidràulic R(x, t) es definixen com: $$S=-\frac{\mathrm{d}{z}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}x},$$ $$S_{\mathrm{f}}=\frac{\tau }{\rho gR}$$ i $$R=\frac{A}{P}.$$

En conseqüència, l'equació del moment (Plantilla:EquationNote) pot escriure's com:

Conservació del moment

L'equació del moment (Plantilla:EquationNote) també pot ser plantejada en la cridada forma de conservació, o forma euleriana, per mig d'algunes manipulacions algebraiques sobre les equacions de Saint-Venant, (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote). En térmens del cabal Q = Au:

a on A, I₁ i I₂ són funcions de la geometria del canal, descrit en térmens de l'esgambi del canal B(σ,x). Ací, σ és l'altura sobre el punt més baix de la secció travessera en l'ubicació x. Llavors σ és l'altura sobre el nivell del llit z_b(x) (del punt més baix en la secció travessera): $$\begin{array}{cc}A(\sigma ,x)& =\underset{0}{\overset{\sigma }{\int }}B({\sigma }^{\prime },x)\mathrm{d}{\sigma }^{\prime },\\ I_1(\sigma ,x)& =\underset{0}{\overset{\sigma }{\int }}(\sigma -{\sigma }^{\prime })B({\sigma }^{\prime },x)\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }\text{and}\\ I_2(\sigma ,x)& =\underset{0}{\overset{\sigma }{\int }}(\sigma -{\sigma }^{\prime })\frac{\partial B({\sigma }^{\prime },x)}{\partial x}\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }.\end{array}$$

Dalt - en l'equació del moment (Plantilla:EquationNote) en forma de conservació -A, I₁ i I₂ és evaluada com σ = h(x,t). El terme g I₁ descriu la força hidrostàtica en una determinada secció travessera. I, per a un canal no prismàtic, g I ₂ dona els efectes de les variacions de la geometria a lo llarc de l'eix x del canal.

En les aplicacions, depenent del problema en qüestió, a sovint es preferix utilisar l'equació del moment en forma no conservativa, (Plantilla:EquationNote) or (Plantilla:EquationNote), o la forma de conservació (Plantilla:EquationNote). Per eixemple, en el cas de la descripció dels bots hidràulics, es preferix la forma de conservació ya que el fluix de moment és continu a través del bot.

Característiques

Erro al crear miniatura:

Característiques, domini de la dependència i regió d'influència, associades a l'ubicació P = (x_P,t_P) en l'espai x i en el temps t.

Les equacions de Saint-Venant (Plantilla:EquationNote)–(Plantilla:EquationNote) pot analisar-se per mig del método de característiques. Les dos acceleració dx/dt en les curves característiques són: $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=u\pm c,$$ with $$c=\sqrt{\frac{gA}{B}}.$$

El Número de Froude Fr= |o|/c determina si el fluix és subcrítico (Fr < 1) o supercrítico (Fr > 1).

Per a un canal rectangular i prismàtic d'esgambi constant B, és dir, en A = B h i c = Plantilla:Sqrt els invariantes de Riemann són $$r_{+}=u+2\sqrt{gh}$$ i $$r_{-}=u-2\sqrt{gh},$$ per lo que les equacions en forma característica són:: $$\begin{array}{cccc}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u+2\sqrt{gh})=g(S-S_f)& & \text{along}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=u+\sqrt{gh}\text{and}\\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u-2\sqrt{gh})=g(S-S_f)& & \text{along}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=u-\sqrt{gh}.\end{array}$$ Els invariantes de Riemann i el método de les característiques per a un canal prismàtic de secció travessera arbitrària són descrits per Didenkulova i Pelinovsky (2011).

Les característiques i els invariantes de Riemann proporcionen informació important sobre el comportament del fluix, ademés de que poden utilisar-se en el procés d'obtenció de solucions (analítiques o numèriques).

Modelación derivada

Ona dinàmica

L'ona dinàmica és l'equació unidimensional completa de Saint-Venant. És numèricament difícil de resoldre, pero és vàlida per a tots els escenaris de fluix del canal. L'ona dinàmica s'utilisa per a modelar tormentes transitòries en programes d'modelización com Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS, InfoWorks_ICM [1] archivat en Wayback Machine., MIKE 11, Wash 123d i SWMM5.

En l'orde de les simplificació creixents, en eliminar alguns térmens de les equacions completes de Saint-Venant 1D (també coneguda com a equació d'ona dinàmica), obtenim la també clàssica equació d'ona difusiva i l'equació d'ona cinemàtica.

Ona difusiva

Per a l'ona difusiva se supon que els térmens d'inèrcia són menors que els térmens de gravetat, fricció i pressió. Per lo tant, l'ona difusiva pot descriure's en major precisió com una ona no inercial, i s'escriu com: $$g\frac{\partial h}{\partial x}+g(S_f-S)=0.$$ L'ona difusiva és vàlida quan l'acceleració inercial és molt menor que totes les demés formes d'acceleració o, en atres paraules, quan hi ha principalment un fluix subcrítico, en valors de Froude baixos. Els models que utilisen l'hipòtesis de l'ona difusiva inclouen MIKE SHE i LISFLOOD-FP. In the software SIC (Irstea) estes opcions també estan disponibles, ya que els 2 térmens d'inèrcia (o qualsevol d'ells) es poden eliminar en opció des de l'interfaç.

Ona cinemàtica

Per a l'ona cinemàtica se supon que el fluix és uniforme, i que la pendent de fricció és aproximadament igual a la pendent del canal. Açò simplifica l'equació completa de Saint-Venant a l'ona cinemàtica: $$S_f-S=0.$$ L'ona cinemàtica és vàlida quan el canvi en l'altura de l'ona a lo llarc de la distància i la velocitat a lo llarc de la distància i el temps és insignificant en relació en la pendent del llit, per eixemple, per a fluix poc profunts sobre pendents pronunciades. L'ona cinemàtica s'usa en HEC-HMS.