Anex:Moments d'inèrcia

El moment d'inèrcia, indicat per $I$ , medix la mida en que un objecte resistix l'acceleració rotacional respecte d'un eix particular, i és l'anàlec rotacional a la massa. Els moments d'inèrcia en massa tenen unitats de magnitut ML ² ([massa] × [llongitut] ² ). No deu confondre's en el segon moment d'àrea, que s'utilisa en els càlculs de voltons. El moment d'inèrcia de la massa és a sovint conegut com a inèrcia rotacional.

Per a objectes senzills en simetria geomètrica, un a sovint pot determinar el moment d'inèrcia en una expressió de forma tancada exacta. Típicament açò ocorre quàn la densitat de la massa és constant, pero en alguns casos la densitat pot variar a lo llarc de l'objecte. En general, expressar el moment d'inèrcia de formes asimètriques i/o en una distribució de massa més complexa pugues no ser senzill. Al moment de calcular moments d'inèrcia, és útil recordar que és una funció aditiva i que fa us de les teoremes del eix paralel i del eix perpendicular.

Este artícul principalment considera distribucions de massa simètriques, en densitat constant en tot l'objecte, i l'eix de rotació considerat pansa per centre de massa, a menos que s'especifique lo contrari.

Moments d'inèrcia

A continuació es presenten els moments d'inèrcia escalares. En general, el moment d'inèrcia és un tensor, vore més avall.

Descripció	Figura	Moment(s) d'inèrcia
Massa puntual M a una distancia r de l'eix de rotació. Una massa puntual no posseïx un moment d'inèrcia al voltant del seu propi eix, pero utilisant el teorema de l'eix paralel s'obté un moment d'inèrcia al voltant d'un eix distant de rotació.		$I = M r^{2}$
Dos masses puntuals, m₁ i m₂, en massa reduïda μ i separades a una distancia x, al voltant d'un eix que passa a través del centre de massa del sistema i perpendicular a la llínea que unix les dos partícules.		$I = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} x^{2} = μ x^{2}$
Vareta de llongitut L i massa m, rotando al voltant del seu centre. Esta expressió supon que la vareta és un aram infinitament prim (pero rígit). Est és un cas particular d'una placa rectangular prim en eix de rotació en el seu centre, en w = L i h = 0.		$I_{c e n t e r} = \frac{1}{12} m L^{2}$ $I_{c e n t r o} = \frac{1}{12} m L^{2}$ $I_{c e n t e r} = \frac{1}{12} m L^{2}$ ^[1]
Vareta de llongitut L i massa m, rotando al voltant d'un dels seus extrems. Esta expressió supon que la vareta és un aram infinitament prim (pero rígit). Este també és un cas particular d'una placa rectangular prima en eix de rotació en el seu centre, en h = L i w = 0.		$I_{e n d} = \frac{1}{3} m L^{2}$ $I_{e x t r e m o} = \frac{1}{3} m L^{2}$ ^[1]
Espira circular prima de ràdio r i massa m. Est és un cas particular d'un toroide de a = 0 (vore avall), aixina com d'un tubo cilíndric de paret grossa sense tapes, en r₁ = r₂ i h = 0.		$I_{z} = m r^{2}$ $I_{z} = m r^{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{2} m r^{2}$
Disc massiç prim de ràdio r i massa m. Est és un cas particular del cilindre massiç en h = 0. $I_{x} = I_{y} = \frac{I_{z}}{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{I_{z}}{2}$ és una conseqüència del teorema de l'eix perpendicular.		$I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{4} m r^{2}$
Tubo cilíndric prim sense tapes, de ràdio r i massa m. Esta expressió supon que la gruixa de la paret del tubo és despreciable. Est és un cas particular del cilindre massiç de paret grossa en r₁ = r₂. També, una massa puntual m en l'extrem d'una vareta de llongitut r té este mateix moment d'inèrcia i el valor r es denomina el ràdio de gir.		$I \approx m r^{2}$ $I \approx m r^{2}$ ^[1]
Cilindre massiç de ràdio r, altura h i massa m. Est és un cas particular del cilindre massiç de paret grossa en r₁ = 0.		$I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ $I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ ^[1] $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{12} m (3 r^{2} + h^{2})$
Tubo cilíndric de paret grossa sense tapes, de ràdio interior r₁, ràdio exterior r₂, altura h i massa m.		$I_{z} = \frac{1}{2} m (r_{2}^{2} + r_{1}^{2}) = m r_{2}^{2} (1 - t + \frac{t^{2}}{2})$ $I_{z} = \frac{1}{2} m (r_{2}^{2} + r_{1}^{2}) = m r_{2}^{2} (1 - t + \frac{t^{2}}{2})$ ^[1]^[2] a on t = (r₂ - r₁)/r₂ és una raó normalisada de gruixa;
En una densitat ρ i la mateixa geometria. Nota: açò és per a un objecte en una densitat constant.		$I_{z} = \frac{π ρ h}{2} (r_{2}^{4} - r_{1}^{4})$ $I_{x} = I_{y} = \frac{π ρ h}{12} (3 (r_{2}^{4} - r_{1}^{4}) + h^{2} (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}))$
Tetraedre regular de costat s i massa m.		$I_{m a c i z o} = \frac{1}{20} m s^{2}$ $I_{h o l l o w} = \frac{1}{12} m s^{2}$ $I_{h u e c o} = \frac{1}{12} m s^{2}$ ^[3]
Octaedre regular de costat s i massa m.		$I_{x, h u e c o} = I_{y, h u e c o} = I_{z, h u e c o} = \frac{1}{6} m s^{2}$ $I_{x, h o l l o w} = I_{y, h o l l o w} = I_{z, h o l l o w} = \frac{1}{6} m s^{2}$ ^[3] $I_{x, m a c i z o} = I_{y, m a c i z o} = I_{z, m a c i z o} = \frac{1}{10} m s^{2}$ $I_{x, s o l i d} = I_{y, s o l i d} = I_{z, s o l i d} = \frac{1}{10} m s^{2}$ ^[3]
Dodecaedre regular de costat s i massa m.		$I_{x, h u e c o} = I_{y, h u e c o} = I_{z, h u e c o} = \frac{39 ϕ + 28}{90} m s^{2}$ $I_{x, s o l i d} = I_{y, s o l i d} = I_{z, s o l i d} = \frac{39 ϕ + 28}{150} m s^{2}$ $I_{x, m a c i z o} = I_{y, m a c i z o} = I_{z, m a c i z o} = \frac{39 ϕ + 28}{150} m s^{2}$ a on $ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ^[3]
Icosaedre regular de costat s i massa m.		$I_{x, h u e c o} = I_{y, h u e c o} = I_{z, h u e c o} = \frac{ϕ^{2}}{6} m s^{2}$ $I_{x, m a c i z o} = I_{y, m a c i z o} = I_{z, m a c i z o} = \frac{ϕ^{2}}{10} m s^{2}$ $I_{x, s o l i d} = I_{y, s o l i d} = I_{z, s o l i d} = \frac{ϕ^{2}}{10} m s^{2}$ ^[3]
Esfera hueca de ràdio r i massa m. Es pot considerar que una esfera hueca està formada per dos piles d'anells infinitesimalment prims, circulares, a on el radi diferix de 0 a r (o una sola pila, a on el radi diferix de −r a r).		$I = \frac{2}{3} m r^{2}$ ^[1]
Esfera massiça (bola) de ràdio r i massa m. Es pot considerar que una esfera massiça està formada per dos piles de discs infinitesimalment prims, circulares, a on el radi diferix de 0 a r (o una sola pila, a on el radi diferix de −r a r).		$I = \frac{2}{5} m r^{2}$ ^[1]
Esfera (clafoll) de ràdio r₂ i massa m, en cavitat esfèrica centrada de ràdio r₁. Quan el radi de cavitat r₁ = 0, l'objecte és una bola massiça (vore dalt). Quan r₁ = r₂, $(\frac{r_{2}^{5} - r_{1}^{5}}{r_{2}^{3} - r_{1}^{3}}) = \frac{5}{3} r_{2}^{2}$ i l'objecte és una esfera hueca.		$I = \frac{2}{5} m \frac{r_{2}^{5} - r_{1}^{5}}{r_{2}^{3} - r_{1}^{3}}$ ^[1]
Con circular recte en ràdio r, altura h i massa m.	Erro al crear miniatura:	$I_{z} = \frac{3}{10} m r^{2}$ $I_{z} = \frac{3}{10} m r^{2}$ ^[4] $I_{x} = I_{y} = \frac{3}{20} m (r^{2} + 4 h^{2})$ $I_{x} = I_{y} = \frac{3}{20} m (r^{2} + 4 h^{2})$ ^[4]
Con buit circular recte en ràdio r, altura h i massa m.	Erro al crear miniatura:	$I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ $I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ ^[4]
Toroide en ràdio menor a, ràdio major b i massa m.	Archiu:Torus cycles (labeled).png	Al voltant d'un eix que passa pel centre i és perpendicular al diàmetro major: $I = \frac{1}{4} m (4 b^{2} + 3 a^{2})$ ^[5] Al voltant del diàmetro major: $I = \frac{1}{8} m (5 a^{2} + 4 b^{2})$ ^[5]
Elipsoide (massiça) de semieixos a, b, i c en massa m.	Archiu:Ellipsoid 321.png	$I_{a} = \frac{1}{5} m (b^{2} + c^{2})$ $I_{b} = \frac{1}{5} m (a^{2} + c^{2})$ $I_{c} = \frac{1}{5} m (a^{2} + b^{2})$
Placa rectangular prima d'altura h, ample w i massa m (eix de rotació en la vora de la placa).	Archiu:Recplaneoff.svg	$I_{e} = \frac{1}{12} m (4 h^{2} + w^{2})$ $I_{e} = \frac{1}{12} m (4 h^{2} + w^{2})$
Placa rectangular prima d'altura h, ample w i massa m (eix de rotació en el centre)	Archiu:Recplane.svg	$I_{c} = \frac{1}{12} m (h^{2} + w^{2})$ ^[1]
Ortoedro massiç d'altura h, ample w, i profunditat d, i massa m. Per a un gaveta de costat s orientat de la mateixa manera: $I_{C M} = \frac{1}{6} m s^{2}$ .	Archiu:Moment of inertia solid rectangular prism.png	$I_{h} = \frac{1}{12} m (w^{2} + d^{2})$ $I_{w} = \frac{1}{12} m (d^{2} + h^{2})$ $I_{d} = \frac{1}{12} m (w^{2} + h^{2})$
Ortoedro massiç d'altura D, ample W, i profunditat L, i massa m, rotando al voltant de la seua diagonal major. Per a un gaveta de costat s orientat de la mateixa manera: $I = \frac{1}{6} m s^{2}$ .	Archiu:Moment of Inertia Cuboid.svg	$I = \frac{1}{6} m (\frac{W^{2} D^{2} + D^{2} L^{2} + W^{2} L^{2}}{W^{2} + D^{2} + L^{2}})$
Ortoedro massiç inclinat de profunditat d, ample w, i llongitut l, i massa m, rotando al voltant de l'eix vertical (eix i en figura).	Archiu:Tiltedcuboid.pdf	$I = \frac{1}{12} m (l^{2} \cos^{2} β + d^{2} \sin^{2} β + w^{2})$ $I = \frac{m}{12} (l^{2} \cos^{2} β + d^{2} \sin^{2} β + w^{2})$ ^[6]
Triàngul en vèrtiços en l'orige i en P i Q, en massa m, rotando al voltant d'un eix perpendicular al pla i que passa per l'orige.		$I = \frac{1}{6} m (𝐏 \cdot 𝐏 + 𝐏 \cdot 𝐐 + 𝐐 \cdot 𝐐)$
Polígon pla en vèrtiços P₁, P₂, P₃, ..., P_N i massa m uniformemente distribuïda en el seu interior, rotando al voltant d'un eix perpendicular al pla i que passa per l'orige.	Archiu:Polygon Moment of Inertia.svg	$I = m (\frac{\sum_{n = 1}^{N} ‖ 𝐏_{n + 1} \times 𝐏_{n} ‖ ((𝐏_{n} \cdot 𝐏_{n}) + (𝐏_{n} \cdot 𝐏_{n + 1}) + (𝐏_{n + 1} \cdot 𝐏_{n + 1}))}{6 \sum_{n = 1}^{N} ‖ 𝐏_{n + 1} \times 𝐏_{n} ‖})$
Polígon pla regular en n-vèrtiços i massa m uniformemente distribuïda en el seu interior, rotando al voltant d'un eix perpendicular al pla i que passa pel seu baricentre. R és el radi del círcul circumscrit.		$I = \frac{1}{2} m R^{2} (1 - \frac{2}{3} \sin^{2} (\frac{π}{n}))$ $I = \frac{1}{2} m R^{2} (1 - \frac{2}{3} \sin^{2} (\frac{π}{n}))$ ^[7]
Un triángulo isósceles de massa M, àngul de vèrtiç 2β i llongitut de costat comú L (eix passant per la punta, perpendicular al pla).		$I = \frac{1}{2} m L^{2} (1 - \frac{2}{3} \sin^{2} β)$ $I = \frac{1}{2} m L^{2} (1 - \frac{2}{3} \sin^{2} (β))$ ^[7]
Disc infinit en massa distribuïda en una distribució gaussiana multivariante en dos eixos al voltant de l'eix de rotació en densitat de massa com a funció del vector de posició x. $ρ (𝐱) = m \frac{\exp (- \frac{1}{2} 𝐱^{T} 𝜮^{- 1} 𝐱)}{\sqrt{(2 π)^{2} \| 𝜮 \|}}$	Archiu:Gaussian 2D.png	$I = m \cdot tr (Σ)$
Disc uniforme sobre un eix perpendicular a la seua vora.		$I = \frac{3}{2} m r^{2}$ $I = \frac{3}{2} m r^{2}$ ^[8]

Llista de tensors d'inèrcia en 3 dimensions

Esta llista de tensors de moment d'inèrcia es proporciona per als eixos principals de cada objecte.

Per a obtindre els moments escalares d'inèrcia I anteriors, el tensor moment d'inèrcia I es proyecta a lo llarc d'un eix definit per un vector unitari n d'acort en la fòrmula:

𝒏 \cdot 𝑰 \cdot 𝒏 \equiv n_{i} I_{i j} n_{j}

,

a on els punts indiquen la contracció de tensor i s'usa la convenció de suma d'Einstein . En la taula anterior, n seria l'unitat de base cartesiana i_x, i_i, i_z per a obtindre I_x, I_i, I_z respectivament.

Descripció	Figura	Tensor moment d'inèrcia
Esfera massiça de ràdio r i massa m.	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{2}{5} m r^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} m r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} m r^{2} \end{matrix}]$
Esfera hueca de ràdio r i massa m.	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{2}{3} m r^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} m r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} m r^{2} \end{matrix}]$
Elipsoide massiça de semieixos a, b, c i massa m.	Archiu:Ellipsoide.png	$I = [\begin{matrix} \frac{1}{5} m (b^{2} + c^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} m (a^{2} + c^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} m (a^{2} + b^{2}) \end{matrix}]$
Con circular recte de ràdio r, altura h i massa m, al voltant del vèrtiç.	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{3}{5} m h^{2} + \frac{3}{20} m r^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{5} m h^{2} + \frac{3}{20} m r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{10} m r^{2} \end{matrix}]$
Ortoedro massiç d'ample w, altura h, profunditat d, and massa m.	180x 180x	$I = [\begin{matrix} \frac{1}{12} m (h^{2} + d^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (w^{2} + d^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^{2} + h^{2}) \end{matrix}]$
Vareta prima alineada en l'eix i, de llongitut l i massa m, al voltant d'un extrem.	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{1}{3} m l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} m l^{2} \end{matrix}]$
Vareta prima alineada en l'eix i, de llongitut l i massa m, al voltant del seu centre.	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{1}{12} m l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m l^{2} \end{matrix}]$
Cilindre massiç de ràdio r, altura h i massa m,	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{1}{12} m (3 r^{2} + h^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3 r^{2} + h^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m r^{2} \end{matrix}]$
Tubo cilíndric de paret grossa sense tapes, de ràdio interior r₁, ràdio exterior r₂, llongitut h i massa m.	Erro al crear miniatura:	$I = [\begin{matrix} \frac{1}{12} m (3 (r_{2}^{2} + r_{1}^{2}) + h^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3 (r_{2}^{2} + r_{1}^{2}) + h^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m (r_{2}^{2} + r_{1}^{2}) \end{matrix}]$

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 ^1,8 Raymond A. Serway (1986). Physics for Scientists and Engineers, 2nd edició, Saunders College Publishing, p. 202. ISBN 0-03-004534-7.
↑
Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder
- de febrer de 2008/https://web.archive.org/web/20080207072800/http://www.livephysics.com/problems-and-answers/classical-mechanics/find-moment-of-inertia-of-a-uniform-hollow-cylinder.html Archivat el Erro en l'expressió: Temps no vàlit archivat en Wayback Machine..
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 (1958).The Mathematical Gazette.Mathematical Association.42(339)
11–13.doi:10.2307/3608345.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr (1984). Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, p. 911. ISBN 0-07-004389-2.
↑ ^5,0 ^5,1 Eric W. Weisstein. «Moment of Inertia — Ring». Wolfram Research. Consultat el 14 de decembre de 2016.
↑ A. Panagopoulos and G. Chalkiadakis.
↑ ^7,0 ^7,1 David Morin (2010). Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions; first edition (8 january 2010), Cambridge University Press, p. 320. ISBN 0521876222.
↑ «Archived copy». Archivat des d'el original, el 24 de setembre de 2015. Consultat el 23 de novembre de 2014.

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Anexo:Momentos de inercia» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[serway-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 ^1,8 Raymond A. Serway (1986). Physics for Scientists and Engineers, 2nd edició, Saunders College Publishing, p. 202. ISBN 0-03-004534-7.

[2] Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder
de febrer de 2008/https://web.archive.org/web/20080207072800/http://www.livephysics.com/problems-and-answers/classical-mechanics/find-moment-of-inertia-of-a-uniform-hollow-cylinder.html Archivat el Erro en l'expressió: Temps no vàlit archivat en Wayback Machine..

[3] rer de 2008/https://web.archive.org/web/20080207072800/http://www.livephysics.com/problems-and-answers/classical-mechanics/find-moment-of-inertia-of-a-uniform-hollow-cylinder.html Archivat el Erro en l'expressió: Temps no vàlit archivat en Wayback Machine..

[satterly-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 (1958).The Mathematical Gazette.Mathematical Association.42(339)
11–13.doi:10.2307/3608345.

[beer-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr (1984). Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, p. 911. ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_torus-5] 5,0 ^5,1 Eric W. Weisstein. «Moment of Inertia — Ring». Wolfram Research. Consultat el 14 de decembre de 2016.

[6] A. Panagopoulos and G. Chalkiadakis.

[six-7] 7,0 ^7,1 David Morin (2010). Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions; first edition (8 january 2010), Cambridge University Press, p. 320. ISBN 0521876222.

[8] «Archived copy». Archivat des d'el original, el 24 de setembre de 2015. Consultat el 23 de novembre de 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]