Número imaginario

En matemàtiques, un número imaginario és un número imaginario pur (número complex en part real igual a zero). Per eixemple, $3 i$ és un número imaginario, aixina com $i$ o $- i$ són també número imaginario. En general un número imaginario és de la forma $(0, b i)$ , a on $b$ és un número real.^[1]

Originalment esta denominació va ser falcada en el XVII per René Descartes^[2] com a terme despectiu, i, considerat fictici o inútil, el concepte va guanyar àmplia acceptació despuix dels treballs de Leonhard Euler (en el XVIII) i Augustin-Louis Cauchy i Carl Friedrich Gauss (a principis de el XIX).

Un número imaginario $b i$ pot sumar-se a un número real $a$ per a formar un número complex de la forma $a + b i$ , a on $a$ seria la part real del número complex, i $b i$ la part imaginària del número complex.

Definició

Els número imaginario poden expressar-se com el producte d'un número real per la unitat imaginària $i$ , en a on $i$ és un número tal que en elevar-se al quadrat dona com a resultat -1, és dir:

i^{2} = - 1

Aparició i usos

Història i orige

Encara que el matemàtic i ingenier grec Herón d'Aleixandria és senyalat com el primer en presentar un càlcul que implicava la raïl quadrada d'un número negatiu,^[3]^[4] va ser Raffaelle Bombelli, un matemàtic i ingenier italià de el XVI qui va establir per primera volta les regles per a la multiplicació de número complex en 1572.^[5] El concepte havia aparegut imprés en anterioritat, per eixemple en l'obra de Gerolamo Cardano. En aquella época, els número imaginario i negatius no es comprenien be i alguns els consideraven ficticis o inútils, com en el seu dia ho va anar el zero.

Molts atres matemàtics varen tardar en adoptar l'us dels número imaginario, entre ells René Descartes, que va escriure sobre ells en el seu tractat La Géométrie, en el que va falcar el terme imaginari en intenció despectiva.^[6]^[7]^[8] L'us dels número imaginario no va anar àmpliament acceptat sino fins als treballs de Leonhard Euler (1707–1783) i Carl Friedrich Gauss (1777–1855). El significat geomètric dels número complex com a punts en un pla va ser descrit per primera volta per Caspar Wessel (1745–1818).

Va ser en l'any 1777 quan Leonhard Euler li va donar a $\sqrt{- 1}$ el nom de i, per imaginari,^[9] de manera despectiva, donant a entendre que no tenia una existència real.^[10] Gottfried Leibniz, en el XVII, es va referir a $\sqrt{- 1}$ com "eixe amfibi entre el ser i el no ser".

En ingenieria elèctrica i camps relacionats, l'unitat imaginària a sovint s'indica en j per a evitar la confusió en l'intensitat d'una corrent elèctrica, tradicionalment denotada per i.

Cronologia

Any	Acontenyiment^[11]
1572	Rafael Bombelli realisa càlculs utilisant número imaginario.
1777	Leonhard Euler utilisa el símbol “i” per a representar la raïl quadrada de -1.
1811	Jean-Robert Argand crea la representació gràfica del Pla complex també coneguda com a pla de Argand

Atres representacions

Com parell ordenat de número real, es denota z = (0, i)
Trigonométricament, $z = r (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$ , a on r és un número real qualsevol. Es pot demostrar que l'expressió anterior es pot reescriure de la forma $z = r e^{\frac{i π}{2}}$ (lligga's Representació Polar).

En ocasions $i$ ya té un atre significat. Per eixemple, en ingenieria elèctrica "i" s'usa per a representar corrent elèctrica. Per això, per a evitar confusions, en algunes àrees l'unitat imaginària es representa en $j$ , en lloc de $i$ .

Interpretació geomètrica

Erro al crear miniatura:

El producte per

i

efectua rotacions de 90 graus

Geomètricament, els número imaginario es representen en l'eix vertical del pla complex i per tant perpendicular a l'eix real que és horisontal; l'únic element que compartixen és el zero, ya que $0 = 0 i$ . Este eix vertical és cridat el "eix imaginari" i és denotat com $i ℝ$ , $𝕀$ , o simplement $ℑ$ . En esta representació es té que:

una multiplicació per –1 correspon a una rotació de 180 graus sobre l'orige.

Una multiplicació per $i$ correspon a una rotació de 90 graus en el sentit "positiu" (en el sentit antihorario), i el quadrat de l'equació $i^{2} = - 1$ pot interpretar-se com efectuar dos rotacions de 90 graus sobre l'orige, equivalent a una rotació de 180 graus, $- 1$ .

Una rotació de 90 graus en la direcció "negativa" (sentit horari) satisfà també esta interpretació, ya que $- i$ és també una solució de l'equació $x^{2} = - 1$ .

En general, multiplicar per un número complex és lo mateix que sofrir una rotació al voltant de l'orige pel argument de el número complex, seguit d'un redimensionamiento a escala per la seua magnitut.

Propietats

$⋮$
$i^{- 3} = i$
$i^{- 2} = - 1$
$i^{- 1} = - i$
$i^{0} = 1$
$i^{1} = i$
$i^{2} = - 1$
$i^{3} = - i$
$i^{4} = 1$
$i^{5} = i$
$i^{6} = - 1$
$⋮$
$i^{n} = i^{n mod 4}$ (mod representa el residu)
$⋮$

Tot número imaginario pot ser escrit com $i b$ , a on $b$ és un número real i $i$ és l'unitat imaginària.

Cada número complex pot ser escrit unívocament com una suma d'un número real i un número imaginario, d'esta forma:

$a + b i$

A el número imaginario i se li denomina també constant imaginària.

Estos números estenen el conjunt dels número real $ℝ$ al conjunt dels número complex $ℂ$ .

Per un atre costat, no es pot assumir que els número imaginario tenen la propietat, de la mateixa manera que els número real, de poder ser ordenats d'acort en el seu valor.^[12] És dir, és correcte afirmar que $1 > 0$ , i que $- 1 < 0$ ; açò es deu a que $1 - 0 > 0$ i $- 1 - 0 < 0$ . Esta regla no aplica als número imaginario, per una simple demostració:

Recordem que en els número real, el producte de dos número real, suponguen-se a i b, a on abdós són majors que zero, és igual a un número major que zero. Per eixemple és just dir que $a = 2 > 0$ , $b = 3 > 0$ , per lo tant, $(a) (b) = c > 0$ , llavors tenim que $(2) (3) = 6$ , i òbviament $6 > 0$ .

Per un atre costat, suponga's que $i > 0$ , llavors tenim que $- 1 = (i) (i) > 0$ , lo que evidentment és fals.

I d'igual manera, fem l'errònea suposició de que $i < 0$ , pero si multipliquem per $- 1$ nos queda que $- i > 0$ . Per lo tant tenim que $- 1 = (- i) (- i) > 0$ . Lo que és, igualment que la suposició anterior, totalment fals.

Conclourem que esta suposició i qualsevol atra d'intentar donar un valor ordinal als número imaginario és completament errònea.

Aplicacions

L'unitat imaginària pot ser usada per a obtindre formalment les raïls quadrades de números negatius.
Igualment les raïls quadrades d'un número imaginario són número complex, a on una d'elles, és de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4) a on k és un número real qualsevol.

En física quàntica l'unitat imaginària permet simplificar la descripció matemàtica dels estats quàntics variables en el temps.
En teoria de circuits i corrent alterna l'unitat imaginària s'usa per a representar certes magnituts com fasors, lo que permet un tractament algebraic més simple de dites magnituts.

Vore també

Número imaginario en el Viccionari. Plantilla:Classificació números 01

Referències

↑ Weisstein, Eric W.. «Imaginary Number» (en en).
↑ Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (Anàlisis Matemàtic: Aproximació i processos discrets), Springer Science & Business Media, p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extracte de la pàgina 121 (anglés)
↑ Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry, 2 edició (en anglés), World Scientific, p. 153. ISBN 981-02-0600-3.
↑ Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications (en anglés), Horwood, p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
↑ Joseph A. Gallian. Contemporary Abstract Algebra 2017 (8th Edition) Cengage Learning 600 pag. ISBN: 978-1305644623
↑ «[1]». Consultat el 27 de novembre de 2018.
↑ Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: " (Ademés, tant les raïls verdaderes com les falses [raïls] no sempre són reals; pero a voltes només [cantitats] imaginàries; és dir, un sempre pot imaginar tants d'ells en cada equació com vaig dir; Pero a voltes no hi ha cantitat que corresponga a lo que un imagina, de la mateixa manera que encara que un pot imaginar tres d'ells en esta [equació], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, in embargament, solament un d'ells és real, que és 2, i sobre els atres dos, encara que un els aument, disminuïxca o multiplique de la manera que acabe d'explicar, un no podria fer-los més que [cantitats] imaginàries.)
↑ (2006).«Matemàtiques negatives: cóm les regles matemàtiques poden ser doblades positivament».Princeton University Press.Princeton:, analisa les aambiguedades del significat de les expressions imaginàries en un conexto històric.
↑ (1991) A History of Mathematics, John Wiley & Sons, pp. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ Raymond S. Duren. Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Age of Enlightenment (1999) Princeton University Press 318 pag. ISBN: 978-0691002037
↑ Tony Crilly (2011). 50 coses que cal saber sobre matemàtiques, Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
↑ Paul J. Nahin: Açò no és real. L'història d'i. Libraria: Mèxic, 2008.

Bibliografia

Nahin, Paul (1998). Un conte imaginari: l'història de la raïl quadrada de −1, Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explica numerosos usos de les expressions imaginàries.

Enllaços externs

Purely Imaginary Numberen MathWorls (anglés)
How ca one show that imaginary numbers really do exist? – Un artícul que analisa l'existència de número imaginario. (anglés)
Why Use Imaginary Numbers? [2] archivat en Wayback Machine. – Explicació bàsica i usos dels número imaginario (anglés)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número imaginario» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Weisstein, Eric W.. «Imaginary Number» (en en).

[2] Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (Anàlisis Matemàtic: Aproximació i processos discrets), Springer Science & Business Media, p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extracte de la pàgina 121 (anglés)

[3] Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry, 2 edició (en anglés), World Scientific, p. 153. ISBN 981-02-0600-3.

[4] Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications (en anglés), Horwood, p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.

[5] Joseph A. Gallian. Contemporary Abstract Algebra 2017 (8th Edition) Cengage Learning 600 pag. ISBN: 978-1305644623

[6] «[1]». Consultat el 27 de novembre de 2018.

[7] Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: " (Ademés, tant les raïls verdaderes com les falses [raïls] no sempre són reals; pero a voltes només [cantitats] imaginàries; és dir, un sempre pot imaginar tants d'ells en cada equació com vaig dir; Pero a voltes no hi ha cantitat que corresponga a lo que un imagina, de la mateixa manera que encara que un pot imaginar tres d'ells en esta [equació], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, in embargament, solament un d'ells és real, que és 2, i sobre els atres dos, encara que un els aument, disminuïxca o multiplique de la manera que acabe d'explicar, un no podria fer-los més que [cantitats] imaginàries.)

[Martinez-8] (2006).«Matemàtiques negatives: cóm les regles matemàtiques poden ser doblades positivament».Princeton University Press.Princeton:, analisa les aambiguedades del significat de les expressions imaginàries en un conexto històric.

[Boyer-9] (1991) A History of Mathematics, John Wiley & Sons, pp. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.

[10] Raymond S. Duren. Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Age of Enlightenment (1999) Princeton University Press 318 pag. ISBN: 978-0691002037

[50COSAS-11] Tony Crilly (2011). 50 coses que cal saber sobre matemàtiques, Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[12] Paul J. Nahin: Açò no és real. L'història d'i. Libraria: Mèxic, 2008.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]