Logaritmo complex

En anàlisis complex, una funció logaritme complex és una "funció inversa" de la funció exponencial complexa, de la mateixa manera que el logaritme natural ln x és la funció inversa de la funció exponencial i^x. Llavors, un logaritme de z és un número complex w tal que i^w = z. La notació per a tal w és log z. Pero degut a que tot número complex z distint de zero té infinits logaritmes distints, cal anar en conte per a donar-li a esta notació un significat no ambigu.

Una única branca del logaritme complex. El to del color s'utilisa per a mostrar el argument (àngul de coordenades polars) del logaritme complex. L'intensitat del color s'utilisa per a mostrar el mòdul del logaritme complex. La pàgina en la versió gran d'esta image té una image que mostra la codificació de colors en funció dels seus valors complexos.

Si z = re^iθ en r > 0 (forma polar), llavors w = ln r + iθ és un logaritme de z; sumant-li múltiples sancers de 2πi s'obtenen tots els demés.

Problemes en l'inversió de la funció exponencial complexa

Per a que una funció tinga una funció inversa, esta deu ser inyectiva, açò és, distints arguments de la funció han de donar lloc a distints resultats de la mateixa, sense repetició. Pero la funció exponencial complexa no complix esta propietat: i^w+2πi = i^w per a qualsevol w, i l'adició de iθ a w té l'efecte de rotar respecte de w en el sentit contrari de les agulles del rellonge θ radianes. La llista infinita de números

$\dots ,w-4\pi i,w-2\pi i,w,w+2\pi i,w+4\pi i,\dots ,$

que forma una seqüència de punts "equiespaciados" a lo llarc de la recta vertical en el pla complex, dona lloc al mateix número quan se li aplica la funció exponencial. Llavors, la funció exponencial no té una funció inversa en el sentit usual.

Existixen dos solucions per a este problema:

Una és restringir el domini de la funció exponencial a una regió en la que no continga qualssevol dos números que diferixquen en un múltiple sancer de 2πi: açò du de forma natural a la definició de ramificacions de log z, les quals són certes funcions que donen un sol valor del logaritme a cada punt dels seus dominis. Açò és anàlec a la definició de sense⁻¹x en [−1,1] com la funció inversa de la restricció de sense θ en l'interval [−π/2,π/2]: hi ha molts número real θ en sense θ = x, pero es tria (d'una forma més o menys arbitrària) els θ de l'interval [−π/2,π/2].

Una atra forma de resoldre esta indeterminació és vore al logaritme com una funció el domini de la qual no és una regió del pla complex, sino d'una superfície de Riemann que recobrix el pla complex (sense el zero) d'una forma infinit-a-1.

Les ramificacions tenen la ventaja de que poden ser evaluades en número complex. Per un atre costat, la funció sobre la superfície de Riemann té l'elegància de contindre totes les branques de log z i no requerix l'elecció d'una ramificació en particular per a la seua definició.

Definició del valor principal

Per a cada número complex z no nul, el valor principal de Log z és el logaritme que la seua partix imaginària cau en l'interval (−π,π]. L'expressió Log 0 no està ben definida, puix no existix cap número complex w que satisfaça i^w = 0.

Hi ha atres possibles maneres de definir el valor principal.

Per a definir una fòrmula per a Log z, s'escomença en la representació de z en forma polar, z = re^iθ. Dau z, la forma polar no és única per la possibilitat de sumar un múltiple sancer de 2π a θ, pero pot fer-se única baix el requisit de que θ caiga en l'interval (−π,π]; este θ es denomina valor principal de l'argument, i normalment s'escriu com Arg z. Llavors, el valor principal del logaritme pot escriure's com

$\text{Log }z=\text{ln }r+i\theta =\ln |z|+i\text{Arg }z.$

Per eixemple, Log(-3i) = ln 3 − πi/2.

Una atra manera de definir a Log z és com l'invers de la funció exponencial complexa definida sobre una regió restringida del pla complex, com en la secció prèvia. La banda horisontal S de número complex w = re^iθ tals que −π < θ ≤ π és un eixemple d'una regió del pla complex que no conté qualssevol dos números que diferixquen en un múltiple sancer de 2πi, llavors la restricció de la funció exponencial a S té una inversa ben definida. De fet, la funció exponencial mapea a S de forma biyectiva al pla complex sense el zero ${ℂ}^{*}=ℂ-\{0\}$, i l'inversa d'esta restricció és $\mathrm{Log}:{ℂ}^{*}\to S$. La secció de representació conforme que ve a continuació explica les propietats geomètriques d'este mapa en més detall.

Quan la notació log z apareix sense haver-se especificat cap branca particular del logaritme, lo millor és assumir que tenim la definició del valor principal. En particular, açò dona un valor consistent en el valor en l'eix real de ln z quan z és un número real positiu. La notació Log (en mayúscula en lloc de log) l'usen distints autors per a distinguir el valor principal d'atres logaritmes de z.

Una font d'errors comú a l'hora de treballar en logaritmes complexos és assumir que identitats verificades per ln s'estenen a número complex. És cert que i^Log z = z para tot z ≠ 0 (açò no és més que de definició de Log z com el logaritme de z), pero l'identitat Log i^z = z no és correcta per a z fòra de la banda S. Per esta raó, no es pot aplicar sempre Log als dos costats d'una igualtat de la forma i^z = i^w per a deduir que z = w. També l'identitat Log(z₁z₂) = Log z₁ + Log z₂ pot no ser correcta: els dos costats de dita igualtat poden diferir per un sancer múltiple de 2πi: de fet,

$\mathrm{Log}(-i)=-\frac{\pi i}{2}\ne \frac{\pi i}{2}+\pi i=\mathrm{Log}(i)+\mathrm{Log}(-1).$

La funció Log z és discontínua en tots els reals negatius, pero contínua en el restant de punts de ${ℂ}^{*}$. Per a entendre la discontinuidad, vejam qué li passa a Arg z quan z s'aproxima a un número negatiu real a. Si z s'aproxima a a des del semiplano superior, llavors Arg z s'aproxima a π, que és el valor de Arg a. Pero si z s'aproxima a a des del semiplano inferior, llavors Arg z s'aproxima a −π. Llavors Arg z "bota" (té una discontinuïtat de) 2π quan z creua l'eix negatiu real i, de forma similar, Log z bota 2πi.

Vore també

• Logaritmo
• Logaritmo discret
• Logaritmo d'una matriu
• Funció exponencial
• Argument
• Potenciació
• Punt de Ramificació
• Transformació conforme
• Continuació analítica

Referències

• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.