Volum de control

Vore també: Volum (termodinàmica)

En mecànica de continuïtat i termodinàmica, un volum de control és una abstracció matemàtica empleada en el procés de creació de models matemàtics de processos físics. En un marc de referència inercial, és un volum fix en l'espai o en moviment en una velocitat de fluix constant a través del com fluïx el continu (gas, líquit o sòlit). La superfície que tanca el volum de control es coneix com la superfície de control.

En estat estable, un volum de control pot considerar-se com un volum arbitrari en el que la massa del continu permaneix constant. Quan un continu es mou a través del volum de control, la massa que ingressa al volum de control és igual a la massa que ix del volum de control. En estat estable, i en absència de treball i transferència de calor, l'energia dins del volum de control permaneix constant. És anàlec al concepte de mecànica clàssica del diagrama de cos lliure.

Visió general

Per lo general, per a entendre cóm s'aplica una llei física determinada al sistema que s'està considerant, primer es comença per considerar cóm s'aplica a un volum chicotet de control o "volum representatiu". No hi ha res especial en un volum de control particular, simplement representa una chicoteta part del sistema al que es poden aplicar fàcilment les lleis físiques. Açò dona lloc a lo que es denomina una formulació volumètrica del model matemàtic.

Llavors, es pot argumentar que ya que les lleis físiques es comporten de certa manera en un volum de control particular, es comporten de la mateixa manera en tots eixos volums, ya que eixe volum de control particular no era especial de cap manera. D'esta forma, es pot desenrollar la formulació puntual corresponent del model matemàtic per a que puga descriure el comportament físic d'un sistema complet (i potser més complex).

En la mecànica de continuïtat, les equacions de conservació (per eixemple, les equacions de Navier-Stokes) estan en forma integral. Per lo tant, s'apliquen en volums. Trobar formes de l'equació que siguen independents dels volums de control permet la simplificació dels signes integrals. Els volums de control poden ser estacionarios o poden moure's en una velocitat arbitrària.

Derivat substantiu

Vore també: Derivat sustantiu

Els càlculs en mecànica contínua a sovint requerixen que l'operador de derivació de temps regular $d/dt$és reemplaçat per l'operador derivat substantiu $D/Dt$. Açò pot vore's com seguix:

Considere un error que s'està movent a través d'un volum a on hi ha un escalar, per eixemple, pressió , que varia en el temps i la posició: $p=p(t,x,y,z)$.

Si l'error durant l'interval de temps de $t$a $t+dt$es mou des de $(x,y,z)$a $(x+dx,y+dy,z+dz),$llavors l'error experimenta un canvi $dp$en el valor escalar,

$dp=\frac{\partial p}{\partial t}dt+\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy+\frac{\partial p}{\partial z}dz$

(el diferencial total). Si el bug es mou en una velocitat $𝐯=(v_x,v_y,v_z),$el canvi en la posició de les partícules és $𝐯dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),$i podem escriure

$\begin{array}{cc}dp& =\frac{\partial p}{\partial t}dt+\frac{\partial p}{\partial x}{v}_{x}dt+\frac{\partial p}{\partial y}{v}_{y}dt+\frac{\partial p}{\partial z}{v}_{z}dt\\ & =(\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x}{v}_x+\frac{\partial p}{\partial y}{v}_y+\frac{\partial p}{\partial z}{v}_z)dt\\ & =(\frac{\partial p}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }p)dt.\\ \end{array}$

a on $\mathrm{\nabla }p$és el gradient del camp escalar p. Aixina que:

$\frac{d}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }.$

Si l'error simplement es mou en el fluix, s'aplica la mateixa fòrmula, pero ara el vector de velocitat, v , és el del fluix, o. L'última expressió entre paréntesis és el derivat sustantiu de la pressió escalar. Ya que la pressió p en este càlcul és un camp escalar arbitrari, podem abstraure-ho i escriure l'operador derivat substantiu com

$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }.$