Varietat subriemanniana

En matemàtica, una varietat subriemanniana és un cert tipo de generalisació d'una varietat de Riemann. A grans traces, per a medir distàncies en una varietat subriemanniana, solament es permet moure's a través de curves tangentes als cridats subespacios horisontals.

Les varietats subriemannianas (i, a fortiori, també les varietats Riemannianas) posseïxen una mètrica intrínseca cridada mètrica de Carnot–Carathéodory. En estos espais mètrics, la dimensió de Hausdorff és sempre un sancer més gran que el seu dimensió topològica (a menos que siga una varietat riemanniana pròpiament).

Les varietats subriemannianas es troben a sovint durant l'estudi de sistemes constreñidos en mecànica clàssica, tals com el moviment de vehículs en una superfície, el moviment de braços mecànics o la dinàmica orbital de satèlits. Cantitats geomètriques tals com la fase geomètrica, poden ser estudiades dins del llenguage de la geometria subriemanniana. El grup de Heisenberg, dins de la mecànica quàntica, posseïx una estructura subriemanniana natural.

Definicions

Per una distribució sobre $M$ s'entén un subfribado del fibrado tangente de $M$.

Donada una distribució $H(M)\subset T(M)$, un camp vectorial en $H(M)\subset T(M)$ es diu horisontal. Una curva $\gamma$ sobre $M$ es diu horisontal si $\dot{\gamma }(t)\in H_{\gamma (t)}(M)$ para tot $t$.

Una distribució sobre $H(M)$ es diu completament no-integrable si para tot $x\in M$ es complix que tot vector tangente pot representar-se com una combinació llineal de vectores del tipo $A(x),[A,B](x),[A,[B,C]](x),[A,[B,[C,D]]](x),\dots \in T_x(M)$ en a on tots els camps vectorials $A,B,C,D,\dots$ són horisontals.

Una varietat subriemanniana és una tripla $(M,H,g)$, a on $M$ és una varietat diferenciable, $H$ és una distribució "horisontal" completament no-integrable i $g$ una secció suau de formes quadràtiques definides positives.

Tota varietat subriemanniana posseïx la mètrica intrínseca, cridada la mètrica de Carnot–Carathéodory, definida com

$d(x,y)=\inf \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{g(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))},$

a on l'ínfim es pren a lo llarc de totes les curves horisontals $\gamma :[0,1]\to M$ tal que $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$.

Eixemples

La posició d'un auto en el pla està determinada per tres paràmetros: dos coordenades $x$ i $y$ per a la seua localisació i un àngul $\alpha$ que descriu l'orientació de l'auto. D'esta manera, la posició de l'auto pot ser descrita per un punt en una varietat

${ℝ}^2\times S^1.$

Nos podem preguntar quin és la distància mínima per a aplegar d'una posició a una atra. Açò definix una mètrica Carnot–Carathéodory en la varietat

${ℝ}^2\times S^1.$

Un eixemple propenc relacionat d'una mètrica subriemanniana pot ser construït en un grup de Heisenberg: es prenen dos elements $\alpha$ i$\beta$ en la corresponent àlgebra de Lie tals que

$\{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}$

generen tota l'àlgebra. La distribució horisontal $H$ generada per desplaçaments per l'esquerra de $\alpha$ i $\beta$ és completament no-integrable. En triar qualsevol forma quadràtica positiva plana en $H$ s'obté una mètrica subriemanniana en el grup.

Referències

• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.