Triàngul de Reuleaux

Triàngul de Reuleaux

El triàngul de Reuleaux, en qualsevol orientació, sempre és tangente a un quadrat

El triàngul Reuleaux és l'eixemple més senzill dels cridats polígons de Reuleaux, denominats aixina pel científic i ingenier que els va desenrollar, Franz Reuleaux. Estos polígons tenen la particularitat de ser curvas d'esgambi constant, és dir, que la distància entre dos rectes tangentes paraleles opostes és la mateixa, independentment de la direcció d'eixes rectes. Açò pot apreciar-se en la figura adjunta, en la que sempre hi ha quatre punts de tangència en el quadrat, un en cada costat.

És un triàngul curve en esgambi constant, la curva d'esgambi constant més simple i millor coneguda aparte del círcul. Es forma a partir de l'intersecció de tres discs circulares, cada u dels quals té el seu centre en el llímit dels atres dos. L'esgambi constant significa que la separació de cada dos llínea de sustentació paraleles és la mateixa, independentment de la seua orientació. Com el seu esgambi és constant, el triàngul de Reuleaux és una resposta a la pregunta "Aparte d'un círcul, ¿quina forma pot tindre una tapa d'aigüera per a que no puga caure pel forat?".

Els triànguls de Reuleaux també s'han cridat triànguls esfèrics, pero eixe terme es referix més pròpiament a triànguls en la superfície curva d'una esfera. Deuen el seu nom a Franz Reuleaux, Ingenier alemà de el XIX, pioner en l'estudi de les màquines que traduïxen un tipo de moviment en un atre i que va utilisar triànguls de Reuleaux en els seus dissenys.

No obstant, estes formes eren conegudes abans de la seua época, per eixemple pels dissenyadors de finestres gòtiques de les iglésies, per Leonardo dona Vinci, que la va utilisar per a una proyecció de mapa, i per Leonhard Euler en el seu estudi de les formes d'esgambi constant. Atres aplicacions del triàngul de Reuleaux inclouen donar forma a púas de guitarra, femelles de boca d'incendis, llàpissos i brocas per a trepar perforat forats quadrats, aixina com en disseny gràfic en les formes d'alguns ròtuls i logotips corporatius.

Entre les formes d'esgambi constant en un esgambi donat, el triàngul de Reuleaux té l'àrea mínima i l'àngul més agut (més menut) possible (120°) en els seus cantons. Segons vàries mides numèriques, és la forma més alluntada de la simètrica central. Proporciona la major forma d'ample constant evitant els punts d'un entramat sancer, i està estretament relacionada en la forma del quadrilàter que maximizar la relació entre el perímetro i el diàmetro. Pot realisar una rotació completa dins d'un quadrat tocant en tot moment els quatre costats del quadrat, i té l'àrea més chicoteta possible de les formes en esta propietat. No obstant, encara que cobrix la major part del quadrat en este procés de rotació, no aplega a cobrir una chicoteta fracció de l'àrea del quadrat, prop dels seus cantons. Per esta propietat de rotar dins d'un quadrat, el triàngul de Reuleaux també es coneix a voltes com a rotor de Reuleaux.

El triàngul de Reuleaux és el primer d'una seqüència de polígons de Reuleaux els llímits dels quals són curves d'esgambi constant formades a partir de polígons regulars en un número impar de costats. Algunes d'estes curves s'han utilisat com formes de les monedes. El triàngul de Reuleaux també es pot generalisar en tres dimensions de múltiples maneres: el tetraedre de Reuleaux (l'intersecció de quatre boles els centres de les quals es troben en un tetraedre regular) no té esgambi constant, pero es pot modificar redonejant les seues arestes per a formar el tetraedre de Meissner, que sí la té. Alternativament, la superfície de revolució del triàngul de Reuleaux també té esgambi constant.

L'àrea del triàngul de Reuleaux és $\frac{1}{2}(\pi -\sqrt{3})a^2=0,\mathrm{70477...}{a}^2$, a on a és l'esgambi constant. L'àrea d'un círcul d'igual diàmetro és $\frac{\pi }{4}{a}^2=0,\mathrm{78539...}{a}^2$, que és major. Més encara, el teorema de Blaschke-Lebesgue establix que el triàngul de Reuleaux té menor superfície que qualsevol atra figura d'igual esgambi constant.

El seu perímetro és $\pi a$ (vore l'explicació en la secció següent).

El triàngul de Reuleaux pot generalisar-se a atres polígons regulars en un número impar de costats, com pot ser el cas de les monedes britàniques de 20 penics (basades en un heptàgon).

El triàngul de Reuleaux és una curva d'esgambi constant basat en un triàngul equilátero. La distància entre qualsevol punt d'una de les curves i el vèrtiç opost és la mateixa.

Traçat del triàngul de Reuleaux

Partint d'un triàngul equilátero de costat a delíniese, fent centre en un dels vèrtiços del triàngul i en radi a, un arc de circumferències que una entre sí als dos vèrtiços restants, repetixca's l'operació per a cada vèrtiç i ya s'haurà obtingut el triàngul de Reuleaux buscat. Borrant el triàngul inicial, l'espai central que delimiten en comú les tres cirunferencias és el triàngul de Reuleaux, una curva d'esgambi constant.

Cada u dels ànguls d'un triàngul equilátero és de 60° = $\frac{\pi }{3}$ radianes. Cada u dels tres arcs és de llongitut $\frac{\pi }{3}a$. Per tant el perímetro del triàngul de Reuleaux és $\pi a$.

Usos

Broca d'Harry Watts, basada en el triàngul de Reuleaux

• Degut a que tots els seus diàmetros tenen la mateixa llongitut, el triàngul Reuleaux, junt en els demés polígons regulars de Reuleaux, és la resposta a la pregunta "Ademés d'un círcul, ¿qué una atra forma pot tindre una tapa d'aigüera per a que no caiga a través del forat?"
• El rotor d'un Motor Wankel pugues fàcilment ser confòs en un triàngul de Reuleaux. Encara que s'assembla molt en el seu aspecte, el rotor Wankel té entre vèrtiços una curva alguna cosa més plana que la del triàngul de Reuleaux i per això no té ample constant.
• En 1914 l'ingenier britànic Harry James Watts va patentar (US-Patent 1241175 i següents) una broca (cridada d'Harry Watts en els països de parla anglesa) en forma de triàngul de Reuleaux. Esta broca va montada en un dispositiu especial que fa que gire un tant excéntricamente i aixina pot trepar un forat en una forma casi exactament quadrada. En la figura es pot vore la rotació d'esta broca dins d'un forat quadrat. Es veu que solament en els cantons dita broca deixa quatre menudes àrees sense cobrir, que sumen un 1,33% de l'àrea del quadrat.

Archiu:Reuleaux triangle 54. caps block 6

Rodells en secció circular i de triàngul de Reuleaux. Deutsche Technikmuseum, Berlín

• Un triàngul de Reuleaux pot rodar fàcilment, pero no funciona be com a roda degut a que no té un centre fix de rotació. No obstant, en la figura adjunta la taula pot fer-se alvançar de manera perfectament horisontal. En el rodell de l'esquerra hi haurà un eix que solament es desplace horisontalment, mentres que en la secció del rodell de la dreta, que és un triàngul de Reuleux, tots els punts tenen una miqueta de moviment vertical, com s'aprecia en l'animació de la broca d'Harry Watts.

• L'existència dels polígons de Reuleaux és una bona demostració de que el que una figura tinga esgambi constant no implica que siga un círcul.

• Molts llàpissos són fabricats en este perfil, en lloc dels molt més tradicionals de secció redona o hexagonal. Per lo general són promocionats com més cómodos i produïxen un agarre adequat, ademés de ser menys provable que roden fora de les taules.

• El rotor del motor Wankel té forma de triàngul curvilíneo que sol citar-se com a eixemple de triàngul de Reuleaux. No obstant, els seus costats curvos són alguna cosa més plans que els de un triàngul de Reuleaux, per lo que no té un esgambi constant.

Disseny de mecanismes

Mecanisme d'alvanç de película basat en el triàngul de Reuleaux en el proyector soviètic Luch-2 de 8 mm

Una atra classe d'aplicacions del triàngul de Reuleaux consistix en utilisar-ho com a part d'un acoplament mecànic que puga convertir la rotació al voltant d'un eix fix en un moviment alternatiu. Estos mecanismes varen ser estudiats per Franz Reuleaux. En l'ajuda de l'empresa Gustav Voigt, Reuleaux va construir aproximadament 800 models de mecanismes, varis dels quals incloïen el triàngul de Reuleaux. Reuleaux va utilisar estos models en les seues investigacions científiques pioneres sobre el seu moviment. Encara que la majoria dels models de Reuleaux-Voigt s'han perdut, s'han recopilat 219 d'ells en l'Universitat de Cornell, inclosos nou basats en el triàngul de Reuleaux. No obstant, l'us de triànguls de Reuleaux en el disseny de mecanismes és anterior a l'obra de Reuleaux; per eixemple, algunes màquines de vapor de data tan primerenca com 1830 tenien una leva en forma de triàngul de Reuleaux.

Una aplicació d'este principi sorgix en un proyector de películes. En esta aplicació, és necessari fer alvançar la película en un moviment espasmódico i escalonat, en el que cada fotograma de la película es deté durant una fracció de segon davant de la lent del proyector, i després, molt més ràpidament, la película passa al següent fotograma. Açò es pot fer utilisant un mecanisme en el que la rotació d'un triàngul de Reuleaux dins d'un quadrat s'utilisa per a crear un patró de moviment per a un actuador que tira de la película ràpidament a cada nou fotograma i després fa una pausa en el moviment de la película mentres es proyecta el fotograma.

Generalisacions

Les curves triangulars d'esgambi constant en ànguls suaus i no aguts poden obtindre's com el lloc geomètric dels punts situats a una distància fixa del triàngul de Reuleaux. Atres generalisacions del triàngul de Reuleaux inclouen superfícies en tres dimensions, curves d'esgambi constant en més de tres costats, i els conjunts de Yanmouti que proporcionen eixemples extrems d'una desigualtat entre esgambi, diàmetro i inradio.

Versió tridimensional

Quatre boles es intersecan per a formar un tetraedre de Reuleaux.

L'intersecció de quatre boles de ràdio s centrades en els vèrtiços d'un tetraedre regular de costat s es denomina tetraedre de Reuleaux, pero la seua superfície no és una superfície d'esgambi constant. Pot, no obstant, convertir-se en una superfície d'esgambi constant, cridada tetraedre de Meissner, substituint tres dels seus arcs d'aresta per superfícies curves, les superfícies de rotació d'un arc circular. Alternativament, la superfície de revolució d'un triàngul de Reuleaux a través d'un dels seus eixos de simetria forma una superfície d'esgambi constant, en volum mínim entre totes les superfícies de revolució conegudes d'esgambi constant donat.

Polígons de Reuleaux

Artícul principal → Polígon de Reuleaux.

El triàngul de Reuleaux pot generalisar-se a polígons regulars o irregulars en un número impar de costats, donant lloc a un polígon de Reuleaux, una curva d'esgambi constant format per arcs circulares de ràdio constant. L'esgambi constant d'estes formes permet el seu us com a monedes que poden utilisar-se en màquines que funcionen en monedes. Encara que les monedes d'este tipo en circulació general solen tindre més de tres costats, s'ha utilisat un triàngul de Reuleaux per a una moneda commemorativa de Bermudes.

Es poden utilisar métodos similars per a tancar un polígon simple arbitrari dins d'una curva d'esgambi constant, l'esgambi del qual és igual al diàmetro del polígon donat. La forma resultant consistix en arcs circulares (com a molt tants com a costats tinga el polígon), pot construir-se algorítmicamente en temps llineal, i pot dibuixar-se en compàs i regla. Encara que tots els polígons de Reuleaux tenen un número impar de costats d'arc circular, és possible construir formes d'esgambi constant en un número par de costats d'arc circular de ràdios variables.

Conjunts de Yanmouti

Els conjunts de Yanmouti es definixen com els caixcos convexos d'un triàngul equilátero junt en tres arcs circulares, centrats en els vèrtiços del triàngul i que comprenen el mateix àngul que el triàngul, en ràdios iguals que són com a màxim iguals a la llongitut lateral del triàngul. Aixina, quan el radi és suficientment menut, estos conjunts degeneran en el propi triàngul equilátero, pero quan el radi és lo més gran possible són iguals al triàngul de Reuleaux corresponent. Tota forma en esgambi w, diàmetro d, i inradio r (el radi del círcul més gran possible contingut en la forma) obedix a la desigualtat

$w-r\le \frac{d}{\sqrt{3}},$

i esta desigualtat es convertix en una igualtat per als conjunts de Yanmouti, lo que demostra que no és millorable.

Figures relacionades

Archiu:Triquetra-Vesica.svg

Triquetra entrellaçats per a formar un nuc trébol

En la presentació clàssica d'un diagrama de Venn de tres conjunts com tres círculs superposts, la regió central (que representa elements pertanyents als tres conjunts) adopta la forma d'un triàngul de Reuleaux. Els mateixos tres círculs formen un dels dibuixos estàndar dels anells borromeos, tres anells mútuament enllaçats que, no obstant, no poden realisar-se com a círculs geomètrics. Parts d'estos mateixos círculs s'utilisen per a formar la triquetra, una figura de tres semicírculs superposts (cada dos dels quals formen un símbol de vesica piscis) que de nou té un triàngul de Reuleaux en el seu centre; de la mateixa manera que els tres círculs del diagrama de Venn poden entrellaçar-se per a formar els anells borromeos, els tres arcs circulares de la triquetra poden entrellaçar-se per a formar un nuc trébol.

Parents del triàngul de Reuleaux sorgixen en el problema de trobar la forma de perímetro mínim que tanca una cantitat fixa d'àrea i inclou tres punts especificats en el pla. Per a un ampli ranc d'eleccions del paràmetro àrea, la solució òptima a este problema serà un triàngul curve que els seus tres costats són arcs circulares en ràdios iguals. En particular, quan els tres punts són equidistants entre sí i l'àrea és la del triàngul de Reuleaux, el triàngul de Reuleaux és el recint òptim.

Els triànguls circulares són triànguls en arestes circulares, entre els que s'inclouen el triàngul de Reuleaux i atres formes. La curva deltoide és un atre tipo de triàngul curvilíneo, pero en el que les curves que substituïxen a cada costat d'un triàngul equilátero són cóncaves en lloc de convexas. No es compon d'arcs circulares, sino que pot formar-se enrollando un círcul dins d'un atre de radi tres voltes major. Atres formes planes en tres costats curvos inclouen l'arbelos, que es forma a partir de tres semicírculs en punts extrems colineales, i el triàngul de Bézier.

El triàngul de Reuleaux també pot interpretar-se com l'image conforme d'un triàngul esfèric en ànguls de 120°. Este triàngul esfèric és un dels triànguls de Schwarz (en paràmetros 3/2, 3/2, 3/2), triànguls delimitats per arcs de círcul màxim en la superfície d'una esfera que poden emmanisar l'esfera per reflexió.

Vore també

• Polígon de Reinhardt
• Tetraedre de Reuleaux
• Superelipse

Enllaços externs

• Shapes of constant width (cut-the-knot)
• Mould, Steve. Numberphile, Brady Haran.
• Plantilla:Mathworld