Translació d'eixos

Archiu:Axis Translation.svg

Translació d'eixos

En matemàtiques, una translació d'eixos en dos dimensions és una correspondència entre un sistema de coordenades cartesianas xy i un sistema de coordenades cartesianas x'i', en el que l'eix x' és paralel respecte a l'eix x i està a k unitats de distància, i l'eix i' és paralel a l'eix i i està a h unitats de distància. Açò significa que l'orige O' del nou sistema de coordenades té coordenades (h, k) en el sistema original. Les direccions positives x' i i' es consideren iguals a les direccions positives x i i. Un punt P té coordenades (x, i) sobre el sistema original i coordenades (x', i') sobre el nou sistema, a on: Plantilla:NumBlk o equivalentemente Plantilla:NumBlk

En el nou sistema de coordenades, el punt P semblarà haver segut traslladat en la direcció oposta. Per eixemple, si el sistema xy es trasllada una distancia h a la dreta i una distancia k cap a dalt, llavors P semblarà haver segut traslladat una distancia h a l'esquerra i una distancia k cap a avall en el sistema x'i'. Una translació d'eixos en més de dos dimensions es definix de forma similar. Una translació d'eixos és una transformació rígida, pero no un aplicació llineal (vore homologia afí).

Motivació

Els sistemes de coordenades són essencials per a estudiar les equacions de les curvas amprant els métodos de la geometria analítica. Per a utilisar el método de la geometria de coordenades, els eixos es coloquen en una posició convenient sobre la curva en qüestió. Per eixemple, per a estudiar les equacions d'elipses i hipérbolas, els focs solen ubicar-se en un dels eixos i se situen simétricamente sobre l'orige. Si la curva (hipérbola, paràbola, elipse o una atra) no està situada convenientment sobre els eixos, es deu canviar el sistema de coordenades per a colocar la curva en una ubicació i orientació més favorables. El procés de realisar este canvi es denomina transformació de coordenades.

Les solucions a molts problemes es poden simplificar traslladant els eixos de coordenades per a obtindre nous eixos paralels als originals.

Translació de seccions còniques

Artícul principal → Secció cònica.

Per mig d'un canvi de coordenades, l'equació d'una secció cònica es pot convertir en una forma estàndar, que sol ser més fàcil de manejar. Per a l'equació més general de segon grau, que pren la forma: Plantilla:NumBlk sempre és possible realisar una rotació d'eixos de tal manera que en el nou sistema l'equació prenga la forma: Plantilla:NumBlk és dir, eliminant el terme xy. En conseqüència, una translació d'eixos pot reduir una equació de la forma (Plantilla:EquationNote) a una equació de la mateixa forma, pero en noves variables (x', i') com a coordenades, i en els valors de D i de I abdós iguals a zero (en certes excepcions, per eixemple, en les paràboles). La ferramenta principal en este procés és completar el quadrat. En els eixemples que seguixen, s'assumix que ya s'ha realisat una rotació d'eixos.

Eixemple 1

Donada l'equació:

$9x^2+25y^2+18x-100y-116=0,$

per mig d'una translació d'eixos, determine's si el lloc geomètric de l'equació és una paràbola, una elipse o una hipérbola. Determinar els seus focs, vèrtiços (o vèrtiç) i excentricitat.

Solució: Per a completar el quadrat en x i i, escriure l'equació en la forma:

$9(x^2+2x)+25(y^2-4y)=116.$

Completar els quadrats i obtindre

$9(x^2+2x+1)+25(y^2-4y+4)=116+9+100$

$\iff 9(x+1{)}^2+25(y-2{)}^2=225.$

Definir

$x^{\prime }=x+1$ i $y^{\prime }=y-2.$

És dir, la translació en les equacions (Plantilla:EquationNote) es realisa en $h=-1,k=2.$ L'equació en el nou sistema de coordenades pren la forma Plantilla:NumBlk Dividir l'equació (Plantilla:EquationNote) entre 225 per a obtindre

$\frac{x{\text{'}}^2}{25}+\frac{y{\text{'}}^2}{9}=1,$

que es reconeix com una elipse en $a=5,b=3,c^2=a^2-b^2=16,c=4,e=\frac{4}{5}.$ En el sistema x'i', es té que: centre $(0,0)$; vèrtiços $(\pm 5,0)$; i focs $(\pm 4,0).$

En el sistema xy, usar les relacions $x=x^{\prime }-1,y=y^{\prime }+2$ per a obtindre: centre $(-1,2)$; vèrtiços $(4,2),(-6,2)$; focs $(3,2),(-5,2)$; i excentricitat $\frac{4}{5}.$

Vore també

• Canvi de base
• Translació

Bibliografia

• «Elementary Linear Algebra».Wiley.New York:
• «College Calculus with Analytic Geometry».Addison-Wesley.Reading: