Transformació de Helmert
_transformation.svg){kind=link}
La transformació de Helmert (nomenada aixina per Friedrich Robert Helmert, 1843-1917) és un método de transformació geomètrica dins del espai tridimensional. S'utilisa en freqüència en geodèsia per a produir transformació de datums entre sistemes de referència geodèsics. També es denomina transformació de sèt paràmetros i és una semblança.
Definició
[editar | editar còdic]Es pot expressar com:
- ___MATH_0___
a on
- XT és el vector transformat
- X és el vector inicial
Les paràmetros són:
- C – vector de translació. Conté les tres translacions en els eixos de coordenades.
- μ – factor d'escala, que no té unitats; si es dona en ppm, es deu dividir per 1.000.000 i sumar 1.
- R – matriu de rotació. Consta de tres moviments de rotació al voltant de cada u dels tres eixos de coordenades rx, ri, rz. La matriu de rotació és ortogonal. Els ànguls es donen en graus sexagesimals o en radianes.
Variacions
[editar | editar còdic]Un cas especial és la transformació de Helmert bidimensional. Ací, solament es necessiten quatre paràmetros (dos translacions, una escala i una rotació) que es poden determinar a partir de dos punts coneguts; si hi ha més punts disponibles, es poden realisar comprovacions.
A voltes és suficient utilisar la transformació de cinc paràmetros, composta de tres translacions, solament una rotació sobre l'eix Z i un canvi d'escala.
Restriccions
[editar | editar còdic]La transformació de Helmert solament utilisa un factor d'escala, per lo que no és adequada para:
- La manipulació de dibuixos en mides i fotografias
- La comparació de deformacions del paper en plans i mapes antics escanejats
En estos casos, és preferible una transformació afí més general.
Aplicació
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Transformació de datums.
La transformació de Helmert s'utilisa, entre atres coses, en geodèsia per a transformar les coordenades del punt d'un sistema de coordenades a un atre. En ella, és possible convertir punts de topografia locals a les coordenades WGS84 utilisades pel sistema GPS.
Per eixemple, a partir de les coordenades de Gauss-Krüger, x i i, més l'altura, h, es convertixen en valors 3D en quatre passos:
- Desfer la proyecció cartogràfica: càlcul de la latitut, llongitut i altura elipsoidales (W, L, H)
- Convertir de coordenades geodèsiques a coordenades geocéntricas: càlcul de x, i i z en relació en l'elipsoide de referència de la topografia
- Transformació de 7 paràmetros (a on x, i i z casi sempre canvien en uns pocs centenars de metros com a màxim, i les distàncies en uns pocs mm per km)
- Per açò, les posicions terrestres mides es poden comparar en les senyes GPS, que llavors poden ser duts a l'alçament com a nous punts, transformats en el sentit opost
El tercer pas consistix en l'aplicació d'una matriu de rotació, la multiplicació pel factor d'escala ___MATH_1___ (en un valor propenc a 1) i l'adició de les tres translacions, cx, ci, cz.
Les coordenades d'un sistema de referència B es deriven del sistema de referència A per mig de la següent fòrmula (convenció de transformació de vector de posició i simplificació d'ànguls de rotació molt menuts):[1]
- ___MATH_2___
o per a cada paràmetro individual de la coordenada:
- ___MATH_3___
Per a la transformació inversa, cada element es multiplica per ±1.
Els sèt paràmetros es determinen per a cada regió en tres o més punts idèntics d'abdós sistemes. Per a que concorden, les chicotetes inconsistencias (generalment de solament uns pocs centímetros) es ajusten utilisant el método dels mínims quadrats, és dir, s'eliminen d'una manera estadísticament plausible.
Paràmetros estàndar
[editar | editar còdic]- Nota: els ànguls de rotació que es donen en la taula estan en segons d'arc i deuen convertir-se a radianes abans del seu us en el càlcul.
| Còdic EPSG | Regió | Datum d'orige | Datum de destí | Precisió (metros) | cx (metros) | ci (metros) | cz (metros) | s (ppm) | rx (segons d'arc) | ri (segons d'arc) | rz (segons d'arc) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8048 | Austràlia | GDA94 (EPSG:4283) | GDA2020 (EPSG:7844) | 0.01 | 0.06155 | -0.01087 | -0.04019 | -0.009994 | -0.0394924 | -0.0327221 | -0.0328979 |
| 9690 | Austràlia | WGS84 (EPSG:4326) | GDA2020 (EPSG:7844) | 3 | 0.06155 | -0.01087 | -0.04019 | -0.009994 | -0.0394924 | -0.0327221 | -0.0328979 |
| 1618 | Àustria | MGI (EPSG:4312) | WGS84 (EPSG:4326) | 1.5 | 577.326 | 90.129 | 463.919 | 2.4232 | 5.137 | 1.474 | 5.297 |
| 1776 | Alemània (Oest) | DHDN (EPSG:4314) | ETRS89 (EPSG:4258) | 3 | 598.1 | 73.7 | 418.2 | 6.7 | 0.202 | 0.045 | -2.455 |
| 1777 | Alemània (Oest) | DHDN (EPSG:4314) | WGS84 (EPSG:4326) | 3 | 598.1 | 73.7 | 418.2 | 6.7 | 0.202 | 0.045 | -2.455 |
| 15869 | Alemània (Este) | DHDN (EPSG:4314) | WGS84 (EPSG:4326) | 2 | 612.4 | 77 | 440.2 | 2.55 | -0.054 | 0.057 | -2.797 |
| 1641 | Irlanda | TM65 (EPSG:4299) | WGS84 (EPSG:4326) | 1 | 482.5 | -130.6 | 564.6 | 8.15 | -1.042 | -0.214 | -0.631 |
| 1953 | Irlanda | TM75 (EPSG:4300) | ETRS89 (EPSG:4258) | 1 | 482.5 | -130.6 | 564.6 | 8.15 | -1.042 | -0.214 | -0.631 |
| 1954 | Irlanda | TM75 (EPSG:4300) | WGS84 (EPSG:4326) | 1 | 482.5 | -130.6 | 564.6 | 8.15 | -1.042 | -0.214 | -0.631 |
| 8689 | Eslovènia | MGI 1901 (EPSG:3906) | Eslovènia 1996 (EPSG:4765) | 1 | 476.08 | 125.947 | 417.81 | 9.896638 | -4.610862 | -2.388137 | 11.942335 |
| 1314 | Regne unit | OSGB36 (EPSG:4247) | WGS84 (EPSG:4326) | 2 | 446.448 | -125.157 | 542.06 | -20.489 | 0.15 | 0.247 | 0.842 |
| 1315 | Regne unit | OSGB36 (EPSG:4247) | ED50 (EPSG:4230) | 2 | 535.948 | -31.357 | 665.16 | -21.689 | 0.15 | 0.247 | 0.998 |
| 1901 | Estats Units | NAD83(HARN) (EPSG:4152) | WGS84 (EPSG:4326) | 1 | -0.991 | 1.9072 | 0.5129 | 0 | 1,25033 x 10-7 | 4,6785 x 10-8 | 5,6529 x 10-8 |
Estos són conjunts de paràmetros estàndar per a la transformació de 7 paràmetros (o transformació de datum) entre dos datums. Per a una transformació en el sentit opost, es deuen calcular els paràmetros de transformació inversa o es deu aplicar la transformació inversa (com es descriu en el document "Sobre transformacions geodèsiques"[2]). Les translacions cx, ci, cz a voltes es descriuen com tx, ti, tz o dx, dy, dz. Les rotacions rx, ri i rz a voltes també es descriuen com ___MATH_4___, ___MATH_5___ i ___MATH_6___. En el Regne Unit, l'interés principal és la transformació entre el datum OSGB36 utilisat pel Ordnance Survey per a les referències de cuadrícula en els seus mapes Landranger i Explorer al sistema WGS84 utilisat per la tecnologia GPS. El sistema de coordenades de Gauss-Krüger utilisat en Alemània normalment es referix al elipsoide de Bessel. Un atre datum d'interés va ser l'ED50 (Datum europeu de 1950) basat en l'elipsoide de Hayford. El ED50 va ser part dels fonaments de les coordenades OTAN fins a la década de 1980, i molts sistemes de coordenades nacionals del tipo Gauss-Krüger es definixen per mig de el ED50.
La Terra no té una forma elipsoidal perfecta, sino que es descriu com un geoide. En canvi, el geoide de la Terra es descriu per mig de distints elipsoide. Depenent de l'ubicació real, el elipsoide millor alineat localment s'ha utilisat per a fins topogràfics i cartogràfics. El conjunt de paràmetros estàndar proporciona una precisió d'aproximadament 7 m per a una transformació OSGB36/WGS84. Açò no és lo suficientment precís per a la topografia, i el Ordnance Survey complementa estos resultats utilisant una taula de busca de translacions adicionals per a alcançar la precisió de 1 cm.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ «Equations Used for Datum Transformations» (en en-nz).
- ↑ On geodetic transformations, Bo-Gunnar Reit, 2009 https://www.lantmateriet.se/contentassets/4a728c7e9f0145569edd5eb81fececa7/rapport_reit_eng.pdf
- Este artícul conté una traducció derivada de «Transformación de Helmert» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.