Teoria de Floquet

La teoria de Floquet és una branca de les equacions diferencials ordinàries relacionada en les solucions de les equacions diferencials llineals periòdiques de la forma

$$\dot{x}=A(t)x,$$

a on $A(t)$ és una funció contínua a trossos periòdica de periodo $T$ i que definix l'estabilitat de les solucions.

La teorema de Floquet, la teorema principal de la teoria de Floquet, es deu a Gaston Floquet (1883) i dona una forma canònica per a cada matriu fonamental de solucions del sistema llineal. Per mig d'un canvie de coordenades $y=Q^{-1}(t)x$, en $Q(t+2T)=Q(t)$, es transforma el sistema periòdic en un sistema llineal en coeficients constants reals.

En aplicar-se a sistemes físics en potencials periòdics, com els cristals en la física de la matèria condensada, el resultat es coneix com teorema de Bloch.

Deu recordar-se que:

• Les solucions de l'equació diferencial llineal formen un espai vectorial.
• Una matriu $\varphi (t)$ es denomina matriu fonamental de solucions si totes les columnes són solucions linealmente independents.
• Una matriu $\Phi (t)$ es diu matriu fonamental principal de solucions si totes les columnes són solucions linealmente independents i existix $t_0$ tal que $\Phi (t_0)$ és l'identitat. Una matriu fonamental principal es pot construir a partir d'una matriu fonamental per mig de la relació $\Phi (t)=\varphi (t){\varphi }^{-1}(t_0)$.
• La solució de l'equació diferencial llineal en la condició inicial $x(0)=x_0$ és $x(t)=\varphi (t){\varphi }^{-1}(0)x_0$ on $\varphi (t)$ és qualsevol matriu fonamental de solucions.

Teorema de Floquet

Siga $\dot{x}=A(t)x$ una equació diferencial llineal de primer orde, a on $x(t)$ és un vector columna de llongitut $n$ i $A(t)$ una matriu real $n\times n$ periòdica en periodo $T$ (és dir $A(t+T)=A(t)$ para tot $t$ real). Sent $\varphi (t)$ una matriu fonamental de solucions d'esta equació diferencial (és dir, tal que té per columnes una base de solucions de l'equació), es té que para tot $t\in ℝ$ , $\varphi (t+T)=\varphi (t){\varphi }^{-1}(0)\varphi (T).$ En este context, ${\varphi }^{-1}(0)\varphi (T)$ es denomina matriu de monodromía.

Ademés, per a cada matriu $B$ (possiblement complexa) que complixca $e^{TB}={\varphi }^{-1}(0)\varphi (T),$ existix una funció matricial periòdica $t\mapsto P(t)$ ($T$-periòdica) tal que $\varphi (t)=P(t)e^{tB}$ para tot $t$ real.

Es poden rebaixar les condicions de periodicitat per a la funció matricial per a que siga real: existix una matriu $R$ i un funció matricial real periòdica $t\mapsto Q(t)$ ($2T$-periòdica) tal que $\varphi (t)=Q(t)e^{tR}$ para tot $t$ real.

En lo anterior $B$, $P$, $Q$ i $R$ són matrius $n\times n$.

Conseqüències i aplicacions

La matriu $Q(t)$ tal que $\varphi (t)=Q(t)e^{tR}$ és invertible perque tant $\varphi (t)$ com $e^{tR}$ lo són. Per tant, l'aplicació dona lloc a un canvi de coordenades que depén del temps ($y=Q^{-1}(t)x$), baix el qual el sistema original es convertix en un sistema llineal en coeficients reals constants $\dot{y}=Ry$.

En ser $Q(t)$ contínua i periòdica, deu ser acotada. Per lo tant, l'estabilitat de la solució zero per a $y(t)$ i $x(t)$ està determinada pels valors propis de $R$ .

La representació $\varphi (t)=P(t)e^{tB}$ es diu forma normal de Floquet per a la matriu fonamental $\varphi (t)$ .

Els valors propis de $e^{TB}$ es denominen multiplicadors característics del sistema. Estos són ademés els valors propis de les aplicacions de Poincaré (llineals) $x(t)\to x(t+T)$ . Es coneix com a exponent de Floquet (a voltes cridat exponent característic), al valor complex $\mu$ tal que $e^{\mu T}$ és multiplicador característic del sistema. Deu observar-se que els exponents de Floquet no són únics, ya que $e^{(\mu +\frac{2\pi ik}{T})T}=e^{\mu T}$, on $k$ és un número entero. Les parts reals dels exponents de Floquet es diuen exponents de Lyapunov. La solució zero és asintóticamente estable si tots els exponents de Lyapunov són negatius, Lyapunov estable si els exponents de Lyapunov no són positius i inestable en cas contrari.

• La teoria de Floquet és molt important per a l'estudi de sistemes dinàmics, com per eixemple l'equació de Mathieu .
• La teoria de Floquet mostra l'estabilitat en l'equació diferencial d'Hill (introduïda per George William Hill ) que aproxima el moviment de la lluna com un oscilador harmònic en un camp gravitatorio periòdic.
• l'ablandamiento i enduriment d'enllaços en camps làser intensos es poden descriure en térmens de solucions obtingudes per mig de la teorema de Floquet.

Bibliografia

• C. Chicone. Ordinary Differential Equations (en ingés). Springer-Verlag, Nova York 1999.
• MSP Eastham, "The Spectral Theory of Periodic Differential Equations", Texts in Mathematics, Scottish Academic Press, Edimburc, 1973.ISBN 978-0-7011-1936-2 .
• Ekeland, Ivar (1990). «One», Convexity methods in Hamiltonian mechanics (vol. 19), Berlin: Springer-Verlag, pp. x+247. ISBN 3-540-50613-6.
• (1968).«The Operator of Translation along the Trajectories of Differential Equations».American Mathematical Society., Translation of Mathematical Monographs, 19, 294p.
• W. Magnus, S. Winkler. Equació d'Hill, Edicions Dover-Phoenix,ISBN 0-486-49565-5 .
• NW McLachlan, Teoria i aplicació de les funcions de Mathieu, Nova York: Dover, 1964.
• (2012) Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• Plantilla:Springer