Estabilitat de Liapunov

En matemàtiques, la noció de estabilitat de Liapunov es dona en l'estudi dels sistemes dinàmics.

De manera esquemàtica, direm que un punt d'equilibri $X_o$ de l'equació diferencial homogénea $\dot{X}=f(X)$ és estable si totes les solucions a l'equació que partixen en un entorn de $X_o$ es mantenen prop de $X_o$ para tot temps posterior.

Esta definició d'estabilitat du el nom d'Aleksandr Liapunov, qui va publicar en 1892 la seua tesis de doctorat El problema general de l'estabilitat del moviment, a on definix este concepte.

Definició

Siga $f:M\to TM$ un camp de vectores en una varietat diferenciable $M$. Considerem l'equació diferencial

$\dot{x}=f(x)$,

$p\in M$ tal que $f(p)=0$ (és dir, un punt d'equilibri de l'equació). Direm que $p$ és:

1. estable en el sentit de Liapunov si para tot $ϵ>0$, existix $\delta >0$ tal que si $x$ és solució de l'equació en $\Vert x(0)-p\Vert <\delta$, llavors per a $t\ge 0$ tenim $\Vert x(t)-p\Vert <ϵ$.
2. asintóticamente estable si complix en el punt anterior i ademés el $\delta >0$ pot elegir-se de manera que $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x(t)-p\Vert =0$.

Eixemples

(1) Siga l'equació diferencial en $ℝ,\dot{x}=-x$. El 0 és un punt d'equilibri de l'equació. Vejam que és asintóticamente estable.

Si $x_0\in ℝ$ llavors la solució de l'equació en condició $x(0)=x_0$ és $x(t)=x_0{e}^{-t}$. És fàcil vore que para tot $x_0\in ℝ$ tindrem que eixa solució és decreixent i tendix a 0 quan $t\to +\mathrm{\infty }$.

Per lo tant, dau $ϵ>0$, prenent $\delta =ϵ$ es complix: si $|x(0)|<\delta$ llavors $|x(t)|<ϵ$ per a $t\ge 0$ i $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|x(t)|=0$.

(2) Per a l'equació $\dot{x}=x$ el 0 també és un punt d'equilibri. Vejam que no és estable.

Si $x_0\in ℝ$ llavors la solució a l'equació en condició $x(0)=x_0$ és $x(t)=x_0{e}^t$.

Prenent $ϵ=1$ tenim que cap $\delta >0$ servix per a la definició d'estabilitat: dau $\delta >0$ la solució $\phi (t)=\frac{\delta }{2}{e}^t$ verifica $|\phi (0)|<\delta$, pero existix $T>0$ tal que $\phi (T)>1$.

(3) Siga l'equació $\dot{X}=AX$, a on $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Vejam que l'orige és un punt d'equilibri estable pero no asintóticamente estable.

Per a això mostrem que si $\phi =(x,y)$ és solució a l'equació llavors $x^2+y^2$ és constant: $(x^2+y^2{)}^{\prime }=2x{x}^{\prime }+2y{y}^{\prime }=2xy-2yx=0$. Per lo tant, tota solució que partix a distància $r$ de l'orige es mantindrà a distància $r$ sempre. Açò implica que l'orige és estable pero no asintóticamente.

Vore també

• Funció de Liapunov

Bibliografia

• (1979) Liçõés de Equaçõés Diferenciais Ordinárias (en portugués), Ric de Janeiro: IMPA (Projeto Euclides).
• Gil (2002). «Equacions diferencials ordinàries: teoria bàsica», Curse introductori a les equacions diferencials, Montevideo: IMERL (Facultat d'Ingenieria, Universitat de la República), pp. 245-272.
• (1968) «El problema d'estabilitat», Equacions diferencials ordinàries, primera edició, Mèxic D.F.: Limusa-Wiley S.A., pp. 123-156.
• (1992) The general problem of stability of motion, primera edició (en anglés), Londres: Taylor & Francis.