Funció de Liapunov

En matemàtica, les funcions de Liapunov, plantejades principalment pel rus Aleksandr Liapunov, són funcions que demostren l'estabilitat de cert punt fix en un sistema dinàmic o en les equacions diferencials autònomes. Les funcions que podrien provar l'estabilitat d'un punt qualsevol d'equilibri són cridades candidates a funcions de Liapunov.

No existix un método general per a construir o trobar una funció candidata de Liapunov que demostre l'estabilitat d'un equilibri donat, en tot cas, l'incapacitat de trobar una funció de Liapunov no implica automàticament l'inestabilitat de l'equilibri mateix. Per als sistemes dinàmics (com els sistemes físics) les lleis de conservació proveïxen freqüentment a les funciones candidates de Liapunov.

El segon teorema d'estabilitat de Liapunov per als sistemes autònoms els fa estretament correlativos en les funciones candidates de Liapunov i són instruments per a demostrar l'estabilitat dels equilibris d'un sistema dinàmic autònom.

És menester saber que la segona teorema d'estabilitat de Liapunov per als sistemes autònoms aporta condicions suficients pero no necessàries per a demostrar l'estabilitat d'un equilibri.

Eixemple d'una funció de Liapunov definida per a un sistema dinàmic. Les distintes trayectòries que poden generar-se van quedant atrapades en regions cada volta menors.

Eixemple d'una funció de Liapunov definida per a un sistema dinàmic. Les distintes trayectòries que poden generar-se van quedant atrapades en regions cada volta menors.

Definició intuïtiva d'una funció de Liapunov

Un sistema dinàmic requerix un estat inicial $x_0$ i una funció d'evolució $F(x_0,t)$ que indica la trayectòria dels estats $x(t)$ futurs que tindrà el sistema. Una funció de Liapunov correspon intuitivamente a una família de regions de Liapunov, cada una de les quals queda definida per una curva de nivell. Una volta que l'estat $x(t)$ ha entrat a la regió de Liapunov corresponent a la curva de nivell $V(x_0)=V_0$, ya no podrà eixir d'ella. D'esta manera, a mida que el temps alvança, l'estat anirà quedant restringit a regions de Liapunov cada volta menors, raó per la qual el valor de la funció de Liapunov anirà decreixent en passar el temps. La restricció en les trayectòries que imponen les curves de nivell permeten assegurar que el sistema dinàmic és estable.

Definició d'una funció candidata de Liapunov

Siga

$V:{ℝ}^n\to ℝ$

una funció escalar. $V$ i dita funció candidata de Liapunov si és localment (en 0) una funció definida positiva o, equivalentemente, si existix un entorn $U$ de 0 tal que

$V(0)=0$

$V(x)>0\mathrm{\forall }x\in U\setminus \{0\}$

Bibliografia

• Alessandro Giua, Carla Seatzu (2006). Analisi dei sistemi dinamici, Springer.