Tensor de Killing

En matemàtiques, un tensor de Killing o camp tensorial de Killing és una generalisació dels vectores de Killing, per a camps tensoriales simètrics en lloc d'únicament per a camps vectorials. És un concepte propi de la geometria riemanniana i de les varietats seudoriemannianas, i s'utilisa principalment en la teoria de la relativitat general. Els tensors de Killing satisfan una equació similar a l'equació de Killing per als vectores de Killing. De la mateixa manera que els vectores Killing, cada tensor de Killing correspon a una cantitat que es conserva a lo llarc de les llínees geodèsiques. No obstant, a diferència dels vectores de Killing, que estan associats en les simetria (isometrías) d'una varietat, generalment carixen d'una interpretació geomètrica tan directa. Duen el nom del matemàtic alemà Wilhelm Killing (1947-1923).

Definició i propietats

En la següent definició, els paréntesis al voltant dels índexs tensoriales són una notació utilisada per a visualisar les propietats de simetria. Per eixemple:

$T_{(\alpha \beta \gamma )}=\frac{1}{6}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \alpha \beta }+T_{\gamma \beta \alpha })$

Definició

Un tensor de Killing és un camp tensorial $K$ (d'algun orde m) sobre una varietat seudoriemanniana que és simètrica (és dir, $K_{{\beta }_1\cdots {\beta }_m}=K_{({\beta }_1\cdots {\beta }_m)}$) i satisfà que:

${\mathrm{\nabla }}_{(\alpha }{K}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_m)}=0$

Esta equació és una generalisació de l'equació de Killing per als vectores de Killing:

${\mathrm{\nabla }}_{(\alpha }{K}_{\beta )}=\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{K}_{\beta }+{\mathrm{\nabla }}_{\beta }{K}_{\alpha })=0$

Propietats

Els vectores de Killing són un cas especial dels tensors de Killing. Un atre eixemple simple d'un tensor de Killing és el propi tensor mètric. Una combinació llineal de tensors de Killing és un tensor de Killing. Un producte simètric de tensors de Killing també és un tensor de Killing; és dir, si $S_{{\alpha }_1\cdots {\alpha }_l}$ i $T_{{\beta }_1\cdots {\beta }_m}$ són tensors Killing, llavors $S_{({\alpha }_1\cdots {\alpha }_l}{T}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_m)}$ també és un tensor de Killing.

Cada tensor de Killing correspon a una constant de moviment sobre una llínea geodèsica. Més específicament, per a cada geodèsica en vector tangente $u^{\alpha }$, la cantitat $K_{{\beta }_1\cdots {\beta }_m}{u}^{{\beta }_1}\cdots u^{{\beta }_m}$ és constant en la geodèsica.

Eixemples

Ya que els tensors de Killing són una generalisació dels vectores de Killing, els eixemples donats també servixen d'eixemples per als tensors de Killing. Els següents eixemples se centren en tensors de Killing que no s'obtenen simplement a partir de vectores de Killing.

Mètrica de FLRW

La mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, àmpliament utilisada en cosmologia, ampra vectores de Killing espacials corresponents a les seues simetria espacials, en particular rotacions al voltant d'eixos arbitraris i en el cas pla per a les translacions de $k=1$ en $x$, $y$ i $z$. També té un tensor de Killing

$K_{\mu \nu }=a^2(g_{\mu \nu }+U_{\mu }{U}_{\nu })$

a on a és un factor d'escala, $U^{\mu }=(1,0,0,0)$ és el vector base de coordenades t i s'utilisa la convenció de signatura mètrica −+++.

Mètrica de Kerr

Artícul principal → Constant de Carter.

La mètrica de Kerr, que descriu un forat negre en rotació, posseïx dos vectores de Killing independents. Un vector de Killing correspon al simetria de translació del temps de la mètrica i un atre correspon a la simetria axial al voltant de l'eix de rotació. Ademés, com varen demostrar Walker i Penrose (1970), existix un tensor de Killing no trivial d'orde 2. La constant de moviment corresponent a este tensor de Killing es diu constant de Carter.