Punt umbilical

Llínees de curvatura en un elipsoide (no de revolució), que mostren dos dels seus punts umbilicals (en roig)

En la geometria diferencial de superfícies en tres dimensions, es definix un punt umbilical en una superfície com aquell que és localment esfèric. En tals punts, els marcs de Darboux en totes les direccions són iguals, i per lo tant, abdós curvatura principals són iguals i cada vector tangente és una direcció principal. El terme umbilical procedix del llatí "umbilicus" (melic).

Els punts umbilicals generalment apareixen com a punts aïllats en la regió elíptica de la superfície; és dir, a on la curvatura de Gauss és positiva.

Propietats

Plantilla:No resolt

l'esfera és l'única superfície en curvatura distinta de zero a on cada punt és umbilical. Un punt umbilical pla és un punt umbilical en curvatura gaussiana zero. La cadira de mona és un eixemple d'una superfície en un punt umbilical, i en un pla cada u dels seus punts és umbilical pla. Un bou no pot tindre punts umbilicals, pero cada superfície tancada de característica de Euler distinta de zero, embebida suaument en l'espai euclídeo, té a lo manco un punt umbilical. La conjectura de Carathéodory (proposta per Constantin Carathéodory, encara sense demostrar en 2010) afirma que tota esfera topològica suau en l'espai euclídeo té a lo manco dos punts umbilicals.^[1]

Els tres tipos principals de punts umbilicals són els punts umbilicals elíptics, els parabòlics i els hiperbòlics. Els punts umbilicals elíptics tenen tres llínees de cresta que passen a través del punt umbilical; mentres que els punts umbilicals hiperbòlics tenen solament una. Els punts umbilicals parabòlics són un cas de transició en dos llínees de cresta, una de les quals és singular. Atres configuracions són possibles per a casos de transició. Estos casos corresponen a les catàstrofe elementals D₄⁻, D₅ i D₄⁺ segons la teoria de les catàstrofe de René Thom.

Els punts umbilicals també es poden caracterisar pel patró de la direcció principal del camp vectorial definit al seu entorn, que normalment forma una de tres configuracions: estrela, llima i estrela-llima (o monstar en anglés). l'índex del camp vectorial és −½ (per al cas estrela) o ½ (per als casos llima i estrela-llima). Els punts umbilicals elíptics i parabòlics sempre tenen el patró d'estrela, mentres que els punts umbilicals hiperbòlics poden ser d'estrela, llima o llima-estrela. Esta classificació va ser ideada per Darboux, mentres que els noms varen ser falcats per John Hannay.^[2]

Per a superfícies en genus 0 en punts umbilicals aïllats, com per eixemple un elipsoide, l'índex del camp vectorial de direcció principal deu ser 2 segons el teorema de Poincaré-Hopf. Les superfícies genèriques de genus 0 tenen a lo manco quatre punts umbilicals d'índex ½. Un elipsoide de revolució té dos punts umbilicals no genèrics, cada u dels quals té índex 1.^[3]

Configuracions de llínees de curvatura prop de punts umbilicals:
Estrela - D3

Estrela - D₃
Llima - D1

Llima - D₁
Llima-estrela - D2

Llima-estrela - D₂

Classificació de punts umbilicals

Formes cúbiques

La classificació dels punts umbilicals està estretament lligada a la classificació de les formes cúbiques reals $a x^{3} + 3 b x^{2} y + 3 c x y^{2} + d y^{3}$ . Una forma cúbica tindrà un número de llínees raïl $λ (x, y)$ tal que la forma cúbica siga zero para tot $λ$ real. Hi ha una série de possibilitats que inclouen:

Tres llínees distintes: una forma cúbica elíptica, model estàndar $x^{2} y - y^{3}$ . Tres llínees, dos de les quals coincidixen: una forma cúbica parabòlica, model estàndar $x^{2} y$ . Una sola recta real: una forma cúbica hiperbòlica, model estàndar $x^{2} y + y^{3}$ . Tres llínees coincidentes, model estàndar $x^{3}$ .^[4]

Les classes d'equivalència de tals cúbiques baix escala uniforme formen un espai proyectivo real tridimensional i el subconjunt de formes parabòliques definixen una superfície, cridada braçalet umbilical per Christopher Zeeman.^[4] En prendre classes d'equivalència baixe la rotació del sistema de coordenades s'elimina un paràmetro adicional i les formes cúbiques es poden representar per mig de la forma cúbica complexa $z^{3} + 3 \overline{β} z^{2} \overline{z} + 3 β z \overset{2}{\overline{z}} + \overset{3}{\overline{z}}$ en un únic paràmetro complex $β$ . Es generen formes parabòliques quan $β = \frac{1}{3} (2 e^{i θ} + e^{- 2 i θ})$ , el deltoide interior, de manera que les formes elíptiques queden dins del deltoide i les hiperbòliques fora. Si $| β | = 1$ i $β$ no són una raïl cúbica de l'unitat, llavors la forma cúbica és una forma cúbica en àngul recte que eixercita un paper especial per als punts umbilicals. Si $| β | = \frac{1}{3}$ llavors dos de les llínees raïl són ortogonals.^[5]

Una segona forma cúbica, la jacobiana, es forma prenent el determinant jacobiano de la funció vectorial $F : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ , $F (x, y) = (x^{2} + y^{2}, a x^{3} + 3 b x^{2} y + 3 c x y^{2} + d y^{3})$ . Prescindint de la multiplicació per alguna constant, esta és la forma cúbica $b x^{3} + (2 c - a) x^{2} y + (d - 2 b) x y^{2} - c y^{3}$ . Usant número complejo, el jacobiano és una forma cúbica parabòlica quan $β = - 2 e^{i θ} - e^{- 2 i θ}$ , el deltoide extern en el diagrama de classificació.^[5]

Classificació de punts umbilicals

Archiu:Umbilic clasification.svg

Classificació de punts umbilicals, el

β

-pla. El deltoide intern genera punts umbilicals parabòlics, i separa els punts umbilicals elíptics i hiperbòlics. Cims en el deltoide intern: punts umbilicals cúbics. Círcul exterior, el naiximent dels punts umbilicals separa les configuracions d'estrela i llima-estrela. Deltoide extern, separa la configuració de llima-estrela i llima. Diagonals i llínea horisontal: punts umbilicals simètrics en simetria especular

Qualsevol superfície en un punt umbilical aïllat en l'orige es pot expressar com una parametrización de la forma de Monge $z = \frac{1}{2} κ (x^{2} + y^{2}) + \frac{1}{3} (a x^{3} + 3 b x^{2} y + 3 c x y^{2} + d y^{3}) + \dots$ , a on $κ$ és la curvatura principal única. El tipo de punt umbilical es classifica per la forma cúbica a partir de la part cúbica i de la corresponent forma cúbica jacobiana. Si be les direccions principals no estan definides únicament en un punt umbilical, es poden trobar els llímits de les direccions principals quan se seguix una cresta en la superfície i estes corresponen a les llínees de raïl de la forma cúbica. El patró de llínees de curvatura està determinat pel jacobiano.^[5]

La classificació dels punts umbilicals és la següent:^[5] Dins del deltoide intern - punts umbilicals elíptics

En el círcul interior - dos llínees de cresta tangentes

En el deltoide interior - punts umbilicals parabòlics Fora del deltoide interior - punts umbilicals hiperbòlics.

Dins del círcul exterior - patró d'estrela
En el círcul exterior - naiximent dels punts umbilicals
Entre el círcul exterior i el deltoide exterior - patró de llima-estrela
En l'exterior del deltoide exterior - patró de llima
Cims del deltoide intern - punts umbilicals cúbics (simbòlics)

En les diagonals i en la llínea horisontal - punts umbilicals simètrics en simetria especular.

En una família genèrica de superfícies els punts umbilicals poden aparéixer o desaparéixer en parelles: la transició del naiximent dels punts umbilicals. Abdós punts umbilicals seran hiperbòlics, un en un patró d'estrela i un atre en un patró de llima-estrela. El círcul exterior del diagrama, una forma cúbica en àngul recte, mostra estos casos de transició. Un cas especial són els punts umbilicals simbòlics.^[5]

Vore també

Curvatura principals

Referències

↑ .
↑ Berry, M V (1977). “Umbilic points on Gaussian random surfaces”. J. Phys. A 10: 1809–21.
↑ Porteous, p 208
↑ ^4,0 ^4,1 (1978).«Catastrophe Theory and its Applications».Pitman.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 (2001).«Geometric Differentiation».Cambridge University Press.
198–213.

Bibliografia

(1896).«Leçons sur la théorie génerale dones surfaces: Volumes I–IV».Gauthier-Villars.
- Volum I
- Volum II
- Volum III
- Volum IV
Imàgens d'estrela, llima, mònstruo i atres referències

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Punto umbilical» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] .

[2] Berry, M V (1977). “Umbilic points on Gaussian random surfaces”. J. Phys. A 10: 1809–21.

[3] Porteous, p 208

[Poston-4] 4,0 ^4,1 (1978).«Catastrophe Theory and its Applications».Pitman.

[Port-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 (2001).«Geometric Differentiation».Cambridge University Press.
198–213.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]