Proyecció de Mercator

La proyecció de Mercator és un tipo de procediment cartogràfic ideat per Gerardus Mercator en 1569 per a elaborar mapes de la superfície terrestre. Ha segut molt utilisat des del XVII per a cartes nàutiques perque permetia traçar les rutes de rumbo constant o loxodrómicas com a llínees rectes i ininterrompudes, a diferència d'atres proyeccions més precises.

Proyecció de Mercator

Mapa en proyecció Mercator.

Mapa de Mercator de 1569

Comparació, en una proyecció Mercator del Atlàntic Nort, del rumbo loxodromia (segons punts cardinals, llínea recta en el mapa) front a la geodèsica (segons un círcul màxim terrestre o distància més curta, curva en el mapa)

És un tipo de proyecció cilíndrica tangente al equador. Com a tal, deforma les distàncies entre els meridianos (en la terra són com "gajos" de pol a pol) en llínees paraleles, aumentant el seu ample real cada volta més a mida que s'acosta als pols.

Esta proyecció respecta les formes reals entre els paralels, l'amplia en llarc, cada volta més a mida que s'acosta als pols, distorsionant les àrees propenques als pols encara més. Es nota la diferència en la proyecció cilíndrica equidistant, que no respecta distàncies entre paralels i té solament les deformacions equatorials de la proyecció.

Matemàtica de la proyecció

Relació entre la posició vertical en el mapa (horisontal en el gràfic) i latitut (vertical en el gràfic)

Les següents equacions determinen les coordenades (x,i) d'un punt en el mapa en proyecció Mercator a partir de la seua latitut φ i llongitut λ (sent λ0 la llongitut central del mapa):

Esta és l'inversa de la funció de Gudermann:

L'escala és proporcional a la secante de la latitut φ, fent-se extremadament gran prop dels pols. En el pol mateix φ = 90° o –90.º Com es deduïx de les fòrmules, el valor per a i en els pols és +/– infinit.

Derivació de la proyecció

Assumint que la Terra té forma esfèrica (en realitat s'assembla més a un elipsoide lleument achatado en els pols i en atres lleus deformacions, pero per a mapes de chicoteta escala la diferència és irrellevant), es busca transformar del sistema llongitut-latitut (λ,φ) al sistema cartesiano (x,i) que és "un cilindre tangente a l'equador" (p. ej. x=λ) i conforme, tal que:

La proyecció Mercator és una proyecció cilíndrica

$\frac{\partial x}{\partial \lambda }=\cos (\varphi )\frac{\partial y}{\partial \varphi }$

$\frac{\partial y}{\partial \lambda }=-\cos (\varphi )\frac{\partial x}{\partial \varphi }$

De x = λ se tiene:

$\frac{\partial x}{\partial \lambda }=1$

$\frac{\partial x}{\partial \varphi }=0$

resultando

$1=\cos (\varphi )\frac{\partial y}{\partial \varphi }$

$0=\frac{\partial y}{\partial \lambda }$

Dado que y es función solo de φ con $y^{\prime }=\sec \varphi$ de la cual una tabla de integrales nos da

$y=\ln [\sec (\varphi )+\tan (\varphi )]+C$.

És convenient assignar φ = 0 a i = 0, en lo que la constant C s'anula, C = 0.

Controvèrsia

Indicatriz de Tissot en proyecció Mercator

Animació que mostra la distorsió en tamany produïda per la proyecció de Mercator. Note's el canvi de tamany de Rússia, Groenlàndia i l'Antàrtida.

Indicatriz de Tissot en proyecció sinusoidal

Com en tota proyecció cartogràfica, quan s'intenta ajustar una superfície esfèrica en una superfície plana, la forma del mapa és una distorsió de la verdadera configuració de la superfície terrestre. La proyecció de Mercator va exagerant el tamany de les terres a mida que nos alluntem de la llínea de l'equador. Per això, en els mapamundis Mercator:

• Groenlàndia apareix aproximadament del tamany d'Àfrica, quan en realitat la superfície d'Àfrica és aproximadament 14 voltes la de Groenlàndia.

• Alaska apareix similar en tamany a Brasil, quan l'àrea de Brasil és casi cinc voltes més gran que Alaska.

• L'Antàrtida sembla ser extremadament gran. Si es cartografiara tot el globo, l'Antàrtida es inflaría infinitament. En realitat, és el tercer continent més menut.

• l'illa d'Ellesmere en el nort de l'archipèlec àrtic de Canadà sembla del mateix tamany que Austràlia, encara que Austràlia és més de 39 voltes més gran. Totes les illes de l'archipèlec àrtic de Canadà semblen a lo manco 4 voltes més grans, i les illes més septentrionals semblen encara més grans.

• Àfrica sembla tindre aproximadament el mateix tamany que Amèrica del Sur, quan en realitat Àfrica és més d'una volta i mija més gran.

• Svalbard sembla ser més gran que Borneo, quan en realitat Borneo és unes 12 voltes més gran que Svalbard.

• Madagascar i Gran Bretanya semblen del mateix tamany, mentres que Madagascar és en realitat més del doble de gran que la major de les illes britàniques.
• Suècia sembla molt més gran que Madagascar. En realitat tenen un tamany similar.

• Rússia sembla més gran que tota Àfrica, o Amèrica del Nort (sense les illes d'esta última). També sembla el doble de gran que China i els Estats Units contigus junts, quan, en realitat, la suma és de tamany comparable.
• L'aument de tamany del nort també distorsiona molt la forma de Rússia, fent-la semblar molt més alta de nort a sur i estirant molt les seues regions àrtiques en comparació a les seues latitut miges.

Encara que molt usada en navegació, els crítics argumenten que no és adequada per a representar el món complet per la distorsió de les àrees. El mateix Mercator va utilisar una proyecció equivalent (és dir, que conserva la proporció entre àrees) en els seus mapes regionals no destinats a la navegació. Com a resultat d'estes crítiques, els atles moderns ya no usen la proyecció de Mercator per a mapamundis o regions distants de l'equador, preferint unes atres proyeccions cilíndriques, o proyeccions equivalents (equiáreas). La proyecció de Mercator, no obstant, seguix amprant-se per a regions propenques a l'equador.

Arno Peters va provocar controvèrsia quan va propondre la proyecció coneguda com proyecció de Gall-Peters, una lleu modificació de la cilíndrica equivalent de Lambert, com la alternativa a la de Mercator. Una resolució de 1989 de sèt grups geogràfics nortamericans va rebujar l'us de tots els mapamundis de coordenades rectangulars (cilíndriques), incloent la Mercator i la Gall-Peters.

Us actual en la web

Les aplicacions web de cartografia, com Google Maps, OpenStreetMap o Bing Maps, utilisen actualment la proyecció de Mercator. Concretament ampren una variant que supon que la superfície del planeta és esfèrica en lloc de la forma exacta, elipsoidal, per a simplificar els càlculs. Els desenrolladors de Bing Maps han justificat l'elecció de la proyecció de Mercator per dos motius. En primer lloc, com en tota proyecció cilíndrica, en qualsevol punt del planeta la direcció nort-sur apareix sempre vertical i l'este-oest horisontal. En segon lloc, per ser una proyecció conforme, les formes dels edificis no es distorsionen, evitant que un edifici quadrat puga aparéixer rectangular com ocorre en atres proyeccions. Estes dos virtuts han compensat, a ulls dels autors d'estes aplicacions, les significatives distorsió d'escala que introduïx la proyecció de Mercator, sobretot en les regions prop dels pols.

Google Satellite Maps, per un atre costat, va usar una Proyecció cilíndrica equidistant fins a juliol de 2005.

En els mapes en Google Maps la màxima latitut representada és de +/– 85.0511287798066 graus.

Història

Existix certa controvèrsia sobre els orígens de la proyecció de Mercator. El polímata alemà Erhard Etzlaub va gravar "mapes de brúixola" en miniatura (uns 10×8 cm) d'Europa i parts d'Àfrica que comprenien les latitut 0°-67° per a permetre l'ajust dels seus rellonges de sol portàtils de bojaca. La proyecció trobada en estos mapes, que data de 1511, va ser declarada per Snyder en 1987 per a ser la mateixa proyecció que la de Mercator. No obstant, donada la geometria d'un rellonge de sol, estos mapes be podrien haver-se basat en la similar proyecció cilíndrica central, un cas llímit de la proyecció gnomónica, que és la base d'un rellonge de sol. Snyder modifica la seua valoració a "una proyecció similar" en 1994.

Joseph Needham, historiador de China, va escriure que els chinencs varen desenrollar la proyecció Mercator centenars d'anys abans que Mercator, utilisant-la en les cartes estelars durant la dinastia Song. No obstant, es tractava d'un simple, i comú, cas d'error d'identificació. La proyecció en us era la proyecció equirectangular.

El matemàtic i cosmógrafo portugués Pedro Nunes va descriure per primera volta el principi matemàtic del loxodrómico i el seu us en la navegació marina. En 1537, va propondre construir un atles nàutic compost per varis fulls a gran escala en la proyecció cilíndrica equidistant com a forma de minimisar la distorsió de les direccions. Si estes làmines es posaven a la mateixa escala i es ensamblaban, s'aproximarien a la proyecció de Mercator.

En 1569, Gerhard Kremer, conegut pel seu nom comercial Gerardus Mercator, va anunciar una nova proyecció en publicar un gran mapa planisférico que media 202 per 124 i que estava imprés en díhuit fulls separats. Mercator va titular el mapa Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "Una nova i aumentada descripció de la Terra corregida per a l'us dels navegants". Este títul, junt en una elaborada explicació sobre l'us de la proyecció que apareix com una secció de text en el mapa, mostra que Mercator entenia exactament lo que hi havia conseguit i que pretenia que la proyecció ajudara a la navegació. Mercator mai va explicar el método de construcció ni cóm va aplegar a ell. A lo llarc dels anys s'han barallat vàries hipòtesis, pero en qualsevol cas, l'amistat de Mercator en Pedro Nunes i el seu accés a les taules loxodrómicas creades per Nunes provablement varen contribuir als seus esforços.

El matemàtic anglés Edward Wright va publicar les primeres taules precises per a construir la proyecció en 1599 i, en més detall, en 1610, titulant el seu tractat "Certaine Errors in Navigation". La primera formulació matemàtica va ser publicada cap a 1645 per un matemàtic cridat Henry Bond (c. 1600-1678). No obstant, les matemàtiques involucrades varen ser desenrollades pero mai publicades pel matemàtic Thomas Harriot a partir d'al voltant de 1589.

El desenroll de la proyecció Mercator va representar un gran alvanç en la cartografia nàutica del XVI. No obstant, es va alvançar molt al seu temps, ya que les antigues tècniques de navegació i topografia no eren compatibles en el seu us en la navegació. Dos problemes principals varen impedir la seua aplicació immediata: l'impossibilitat de determinar la llongitut en la mar en la precisió adequada i el fet de que en la navegació s'utilisara les direccions magnètiques, en lloc de direccions geogràfiques (declinació magnètica). Només a mitan del XVIII, despuix de l'invenció del cronómetro marí i el coneiximent de la distribució espacial de la declinació magnètica, la proyecció de Mercator va poder ser plenament adoptada pels navegants.

A pesar d'eixes llimitacions en la busca de la posició, la proyecció de Mercator pot trobar-se en molts mapes del món en els sigles següents a la primera publicació de Mercator. No obstant, no va escomençar a dominar els mapes del món fins al XIX, quan el problema de la determinació de la posició s'havia resolt en gran mida. Una volta que Mercator es va convertir en la proyecció habitual per als mapes comercials i educatius, va ser objecte de crítiques persistents per part dels cartógrafos per la seua representació desequilibrada de les masses terrestres i la seua incapacitat per a mostrar de forma útil les regions polars.

Vore també

• Gerardus Mercator
• Proyecció geogràfica
• Sistema de Coordenades Universal Transversal de Mercator
• Anex:Cronologia de les proyeccions cartogràfiques
• Proyecció cilíndrica equidistant
• Proyecció cilíndrica equivalent
• Sistema de coordenades universal transversal de Mercator
• Proyecció de Peters
• Mapa Dymaxion
• Carta nàutica
• Ret de rumbos
• Indicatriz de Tissot

Bibliografia

• Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections, second edició (en anglés), Pergamon Press. ISBN 0-08-037233-3..
• Monmonier, Mark (2004). Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection, Hardcover edició (en anglés), Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-53431-6.
• (2010) NIST Handbook of Mathematical Functions (en anglés), Cambridge University Press.
• Osborne, Peter (2013). The Mercator Projections (en anglés). doi:10.5281/zenodo.35392.
• Rapp, Richard H (1991). Geometric Geodesy, Part I (en anglés), Ohio State University Department of Geodetic Science and Surveying.
• Snyder, John P (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections (en anglés), University of Chicago Press. ISBN 0-226-76747-7.
• Snyder, John P. (1987). Map Projections – A Working Manual. O. S. Geological Survey Professional Paper 1395 (en anglés), United States Government Printing Office, Washington, D. C.. Este paper pot descarregar-se de USGS pages. Proporciona detalls complets de casi totes les proyeccions, junt en seccions introductòries interessants, encara que no deriva les proyeccions dels principis.
• Quelques Problèmes Mathématiques liés à la Navigation (francés)
• Logiciel de calcul de distances (loxodromiques et orthodromiques) et de caps (francés)
• (2019) La carte invente li monde (en fr), Presses Universitaires du Septentrion.
• (2004) L'Aventure cartographique (en fr), Belin.

Enllaços externs

• convertidor de proyecció geodèsica a Proyecció de Mercator [1] archivat en Wayback Machine.
• Convertidor de Proyecció de Mercator a proyecció geodèsica [2] archivat en Wayback Machine.
• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam – Conté imàgens d'alta resolució del mapa del món de 1569 de Mercator.
• Taula en eixemples i propietats de totes les proyeccions comunes, de radicalcartography. net. (anglés)
• Una applet en Java interactiva per a estudiar-les deformacions mètriques de la proyecció de Mercator.
• Web Mercator: Senar-Conformal, Senar-Mercator (Noel Zinn, Hydrometronics LLC)
• La proyecció de Mercator en la University of British Columbia
• Google Maps Coordinates

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Proyecció de Mercator.