Funció de Gudermann

La funció de Gudermann, cridada aixina en honor a Christoph Gudermann (1798–1852), relaciona les funcions trigonométicas i funcions hiperbòliques sense usar número complex.

Funció de Gudermann

La funció de Gudermann en les seues asíntotes i = ±π/2 marcades en blau.

És definida per mig de l'integral

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}\\ & =\arcsin (\tanh x)=\text{arctan}(\sinh x)\\ & =2\arctan [\tanh \left(\frac{1}{2}x\right)]=2\arctan (e^x)-\frac{1}{2}\pi .\end{array}$

Algunes fòrmules no funcionen completament com a definicions. Per eixemple, per a un número real x, $\arccos \text{sech}x=|\text{gd}x|=\mathrm{arcsec}(\cosh x)$. (Vore funcions trigonométricas inverses.)

Les següents identitats es complixen:

$\begin{array}{cc}\dot{\mathrm{sen}\text{gd}x}& =\tanh x;\csc \text{gd}x=\coth x;\\ \cos \text{gd}x& =\text{sech}x;\sec \text{gd}x=\cosh x;\\ \tan \text{gd}x& =\sinh x;\cot \text{gd}x=\text{csch}x;\\ {}_{.}\tan \frac{1}{2}\text{gd}x& =\tanh \frac{1}{2}x.\end{array}$

La funció inversa de Gudermann.

l'inversa de la funció de Gudermann, la qual està definida en l'interval −π/2 < x < π/2, està donada per

$\begin{array}{cc}{\mathrm{gd}}^{-1}x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}\\ & =\ln \left|\frac{1+\mathrm{sen}x}{\cos x}\right|=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\mathrm{sen}x}{1-\mathrm{sen}x}\right|\\ & =\ln |\tan x+\sec x|=\ln |\tan (\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}x)|\\ & =\text{artanh}(\mathrm{sen}x)=\text{arsinh}(\tan x).\end{array}$

(Vore funcions hiperbòliques inverses.)

Les derivades de la funció de Gudermann i la seua inversa són

$\frac{d}{dx}\text{gd}x=\text{sech}x;\frac{d}{dx}{\mathrm{gd}}^{-1}x=\sec x.$

L'expressió

$\frac{1}{2}\pi -\text{gd}x$

definix la funció d'àngul de paralelisme en geometria hiperbòlica.

Història

La funció va ser introduïda per Johann Heinrich Lambert sobre l'época de 1760 al mateix temps que les funcions hiperbòliques. Ell la va cridar «àngul transcendent», i va passar per varis noms fins que en 1862 Arthur Cayley va sugerir que esta prenguera el seu actual nom com a tribut al treball de Gudermann en els anys de 1830 sobre la teoria de funcions especials. Gudermann va publicar artículs en el Crelle's Journal que varen ser recopilats en Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen functionen (1833), un llibre el qual expon sinh i cosh a l'audiència general (baix l'aspecte de $𝔖𝔦𝔫$ i $ℭ𝔬𝔰$).

La notació gd apareix per primera volta en la pàgina 19 del Philosophical Magazine, vol. XXIV, a on Cayley comença per cridar-la gd. o a l'inversa de la funció

$u=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\sec tdt=\ln \tan (\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\varphi )$

i després obté "la definició" del transcendent:

$\mathrm{gd}u=\frac{1}{i}\ln \tan (\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}ui)$

observant immediatament que esta és una funció real de o.

Aplicacions

La funció de Gudermann té vàries aplicacions.

El Gudermanniano d'una distància de latitut (dau Nort/Sur) des del equador d'una proyecció de Mercator és la seua llongitut d'arc.

La funció de Gudermann apareix en una solució no periòdica del péndola invertida.

Vore també

• Distribució secante hiperbòlica
• Proyecció de Mercator
• Fòrmula de la tangente de l'àngul mig
• Tractriz
• Identitats trigonométricas

Referències

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp. 323–325.
• Gudermannian en MathWorld.