Polígon propenc

Un polígon propenc dens en diàmetro d = 2

En matemàtiques, un polígon propenc és una geometria d'incidència introduïda en 1980 per Ernest E. Shult i Arthur Yanushka, els qui varen demostrar la conexió existent entre els cridats sistemes de llínees tetraèdriques tancades en espais euclídeos i una classe de geometria punt-llínea a les que varen cridar polígons propencs. Estes estructures amplien la noció de polígon generalisat, ya que cada 2n-gono generalisat és un 2n-gono propenc a un tipo particular. Els polígons propencs es varen estudiar exhaustivament en la década de 1980, i a principis de la de 1990 es va demostrar la conexió entre ells i els espais polars duals. Alguns grups simples esporàdics, per eixemple el grup de Hall-Janko i el grup de Mathieu, actuen com a grups d'automorfismes de polígons propencs.

Definició

Un 2d-gono propenc és una estructura d'incidència ($P,L,I$), a on $P$ és el conjunt de punts, $L$ és el conjunt de llínees i $I\subseteq P\times L$ és la relació d'incidència, tal que:

• La distància màxima entre dos punts (el cridat diàmetro) és d.
• Per a cada punt $x$ i cada llínea $L$ existix un punt únic en $L$ que és el més propenc a $x$.

Deu tindre's en conte que les distàncies es medixen segons la colinealidad en el grafo dels punts, és dir, el grafo format prenent punts com a vèrtiços i unint un parell de vèrtiços si incidixen en una llínea comuna.

També es pot donar una definició de grafo teòric alternativa, un 2d-gono propenc és un gràfic conexo de diàmetro finit d en la propietat de que para cada vèrtiç x i cada agrupació màxima M existix un vèrtiç únic x' en M més propenc a x. Les agrupacions màximes de dit gràfic corresponen a les llínees en la definició de l'estructura d'incidència. Un 0-gono propenc (d = 0) és un sol punt, mentres que un 2-gono propenc (d = 1) és solament una sola llínea, és dir, un grafo complet. Un quadrilàter propenc (d = 2) és lo mateix que un quadràngul generalisat (possiblement degenerado). De fet, es pot demostrar que cada 2d-gono generalisat és un 2d-gono propenc que satisfà les dos condicions adicionals següents:

• Cada punt incidix en a lo manco dos llínees.
• Per cada dos punts x i i a la distància (i < d), existix un veí únic de i a la distancia i − 1 des de x.

Un polígon propenc es diu dens si cada llínea incidix en a lo manco tres punts i si cada dos punts a distància dos tenen a lo manco dos veïns comuns. Es diu que té orde (s, t) si cada llínea incidix precisament en s + 1 punts i cada punt incidix precisament en t + 1 llínees. Els polígons propencs densos tenen una rica teoria i vàries classes d'ells (com els polígons propencs densos prims) s'han classificat per complet.

Eixemples

• Tots els grafos bipartitos conectats estan prop de polígons. De fet, qualsevol polígon propenc que tinga exactament dos punts per llínea deu ser un gràfic bipartito conectat.
• Tots els polígons generalisats finitos llevat els plans proyectivos.

Tots els espais polars duals.

• El octógono propenc de Hall-Janko, també conegut com octógono propenc de Cohen-Tits associat en el grup de Hall-Janko. Es pot construir elegint el conjugat de 315 involució centrals del grup de Hall-Janko com a punts i llínees com a subconjunts de tres elements {x, i, xy} sempre que x i i commuten.

• L'hexàgon propenc M₂₄ relacionat en el grup de Mathieu M24 i el còdic binari de Golay estés. Es construïx prenent les 759 octadas (blocs) en el disseny de Witt S(5, 8, 24) corresponents al còdic de Golay com a punts i un triplet de tres octadas disjuntas per parells com a llínees.
• Prenguen-se les particions de {1, 2, ..., 2n + 2} en (n + 1) 2-subconjunts com a punts i les (n − 1) particions en 2-subconjunts i un 4-subconjunt com a llínees. Un punt és incident a una recta si com a partició és un refinament de la recta. Açò genera un 2n-gono propenc en tres punts en cada llínea, normalment denotat com a 'H_n. El seu grup d'automorfisme complet és el grup simètric S_2n+2.

Polígons propencs regulars

Un $2d$-gono propenc finit S es diu regular si té un orde $(s,t)$ i si existixen constants $t_i,i\in \{1,\dots ,d\}$, de modo que per cada dos punts $x$ i $y$ a distància $i$, hi ha precisament $t_i+1$ llínees que passen per $y$ i contenen un punt (necessàriament únic) a la distància $i-1$ de $x$. Resulta que els $2d$-gonos regulars propencs són precisament aquells propencs als $2d$-gonos el gràfic dels quals de punts (també conegut com grafo de colinealidad) és un grafo de distància regular. Un $2d$-gono generalisat d'orde $(s,t)$ és un $2d$-gono propenc regular en paràmetros $t_1=0,t_2=0,\dots ,t_d=t$

Vore també

• Geometria finita
• Espai polar

Bibliografia

• .

• .

• .

• .

• (1991).«Projective and polar spaces».Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences.London:13.
• .

• «Handbook of Incidence Geometry».North-Holland.

433–475..

• .

• .