Quadràngul generalisat

Archiu:Caps block 0 (2,2).svg

GQ(2,2), figura denominada "the doily" (el tapet)

En geometria, un quadràngul generalisat és una estructura d'incidència la característica principal de la qual és la falta de triànguls (encara que conté molts quadrànguls). Un quadràngul generalisat és, per definició, un espai polar de ranc dos. Són els n-gonos generalisats en (n=4) i els 2n-gonos propencs en (n=2). També són precisament les geometria parcials pg(s,t,α) en (α=1).

Definició

Un quadràngul generalisat és una estructura d'incidència (P,B,I), en una un relació d'incidència I ⊆ P × B, que satisfà certs axiomas. Els elements de P són per definició els punts del quadràngul generalisat, i els elements de B les llínees. Els axioma són els següents:

• Hi ha una s (s ≥ 1) tal que en cada llínea hi ha exactament s + 1 punts. Hi ha com a màxim un punt en dos llínees distintes.
• Hi ha una t (t ≥ 1) tal que per cada punt hi ha exactament t + 1 llínees. Hi ha com a màxim una llínea que passa per dos punts distints.
• Per a cada punt p que no està en una llínea L, hi ha una llínea única M i un punt únic q, tal que p està en M i q en M i L.

(s,t) són els paràmetros del quadràngul generalisat. Es permet que els paràmetros siguen infinits. Si s o t són un, el quadràngul generalisat es diu trivial. Per eixemple, la cuadrícula de 3x3 en P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} i B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} és un GQ trivial en s = 2 i t = 1. Un quadràngul generalisat en paràmetros (s,t) a sovint es denota per GQ(s,t).

El quadràngul generalisat més chicotet i no trivial és la GQ(2,2), la representació de la qual va ser malnomenada "the doily" (el tapet) per Stan Payne en 1973.

Propietats

• $|P|=(st+1)(s+1)$
• $|B|=(st+1)(t+1)$
• $(s+t)|st(s+1)(t+1)$
• $s\ne 1⟹t\le s^2$
• $t\ne 1⟹s\le t^2$

Bibliografia

• S. E. Payne i J. A. Thas. "Finite generalized quadrangles" (Quadrànguls finitos generalisats). Research Notes in Mathematics, 110. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1984. vaig vore+312 pp. ISBN 0-273-08655-3, enllaç http://cage.ugent.be/bamberg/FGQ.pdf