Espai polar

Quadràngul generalisat en tres punts per llínea; un espai polar de ranc 2

En matemàtiques, en el camp de geometria, un espai polar de ranc n (n ≥ 3), o índex proyectivo (n − 1), consta d'un conjunt P, convencionalment cridat el conjunt de punts, junt en certs subconjunts de P, cridats subespacios, que satisfan estos axioma:

• Cada subespacio és isomorfo a un espai proyectivo P^d(K) en −1 ≤ d ≤ (n − 1) i K un anell de divisió (és dir, és una geometria proyectiva desarguesiana). Per a cada subespacio, la d corresponent es denomina dimensió.
• L'intersecció de dos subespacios és sempre un subespacio.
• Per a cada subespacio A de dimensió (n − 1) i cada punt p que no està en A, existix un subespacio únic B de dimensió (n − 1) que conté p i és tal que A ∩ B té dimensió (n − 2). Els punts en A ∩ B són exactament els punts de A que estan en un subespacio comú de dimensió 1 en p.
• Hi ha a lo manco dos subespacios disjuntos de dimensió (n − 1).

És possible definir i estudiar una classe d'objectes una miqueta més gran usant solament relacions entre punts i llínees: un espai polar és un espai llineal parcial (P,L), de modo que per a cada punt p ∈ P i cada llínea l ∈ L, el conjunt de punts de l colineales a p, solament té un element o és la totalitat de l.

Els espais polars finitos (a on P és un conjunt finito) també s'estudien com objectes combinatoris.

Quadrànguls generalisats

Un espai polar de ranc dos és un quadràngul generalisat; en este cas, en l'última definició, el conjunt de punts d'una recta $l$ colineal en un punt p és el conjunt complet de $l$ solament si p ∈ $l$. Es recupera la primera definició de l'última baix el supòsit de que les llínees tenen més de 2 punts, els punts es troben en més de 2 llínees i existixen una llínea $l$ i un punt p que no està en $l$, de modo que p és colineal en tots els punts de $l$.

Espais polars clàssics finitos

Siga $PG(n,q)$ l'espai proyectivo de dimensió $n$ sobre el camp finito ${𝔽}_q$ i siga $f$ una forma sesquilineal reflexiva o una forma quadràtica en l'espai vectorial subjacent. Els elements de l'espai polar clàssic finito associats a esta forma són els elements dels subespacios totalment isótropo (quan $f$ és una forma sesquilineal) o els subespacios totalment singulars (quan $f$ és una forma quadràtica) de $PG(n,q)$ sobre $f$. l'índex de Witt de la forma és igual a la dimensió de l'espai vectorial més gran del subespacio contingut en l'espai polar, i es diu ranc de l'espai polar. Estos espais polars clàssics finitos es poden resumir en la següent taula, a on $n$ és la dimensió de l'espai proyectivo subjacent i $r$ és el ranc de l'espai polar. El número de punts en un $PG(k,q)$ es denota per ${\theta }_k(q)$ i és igual a $q^k+q^{k-1}+\cdots +1$. Quan $r$ és igual a $2$, s'obté un quadràngul generalisat.

Forma	$n+1$	Nom	Notació	Número de punts	Grup de colineación
Alternat	$2r$	Simpléctico	$W(2r-1,q)$	$(q^r+1){\theta }_{r-1}(q)$	$\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{S}\mathrm{p}(2r,q)$
Hermítico	$2r$	Hermítico	$H(2r-1,q)$	$(q^{r-1/2}+1){\theta }_{r-1}(q)$	$\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{r},\mathrm{q}\mathrm{)}$
Hermítico	$2r+1$	Hermítico	$H(2r,q)$	$(q^{r+1/2}+1){\theta }_{r-1}(q)$	$\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{U}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{r}\mathrm{+}\mathrm{1},\mathrm{q}\mathrm{)}$
Quadràtic	$2r$	Hiperbòlic	$Q^{+}(2r-1,q)$	$(q^{r-1}+1){\theta }_{r-1}(q)$	$\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{O}}^{\mathrm{+}}(2r,q)$
Quadràtic	$2r+1$	Parabòlic	$Q(2r,q)$	$(q^r+1){\theta }_{r-1}(q)$	$\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{O}(2r+1,q)$
Quadràtic	$2r+2$	Elíptic	$Q^{-}(2r+1,q)$	$(q^{r+1}+1){\theta }_{r-1}(q)$	$\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{O}}^{\mathrm{-}}(2r+2,q)$

Bibliografia

• .

• (2000).«Prehistory and History of Polar Spaces and of Generalized Polygons».
• (2013).«Diagram Geometry (Related to classical groups and buildings)».Springer.Heidelberg:57
• (2015).«Projective and polar spaces».Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences.London:13