Número superreal

En anàlisis matemàtic i àlgebra abstracta, els números superreales són un tipo de cos ordenat que siga una extensió dels número real, introduïda per H. Garth Dona'ls i W. Hugh Woodin que sempre inclourà com a generalisació dels números hiperreales com subcuerpo (es poden definir varis cossos de números superreales diferents segons d'a on es partixca, és dir, a diferència dels números hiperreales (en el cas de l'hipòtesis del continu) i ho surreales que són únics llevat isomorfisme hi ha vàries formes de cos de números superreales).

L'interés fonamental dels cossos de números superreales apareix en anàlisis no estàndar, teoria de models i l'estudi de les àlgebra de Banach. Algebraicamente constituïxen un cos que de fet és un subcuerpo dels números surreales: Els superreales de Dona'ls i Woodin es diferencia dels super-reals de David O. Tall, que no són una atra cosa que el cos fraccions de les series de potències formals en coeficients donen els reals dotades d'un orde lexicogràfic

Definició formal

Suponga's que X és un espai de Tikhonov, també cridat un espai T_3.5, i siga C(X) l'àlgebra de funcions reals definides sobre X. Dins d'esta àlgebra busque's un ideal primer $P\subset C(X)$, i busque's l'àlgebra cocient $𝔸=C(X)/P$ que per definició serà necessàriament un domini d'integritat i un àlgebra sobre els reals, que ademés pot ser considerada un conjunt totalment ordenat. El cos de fraccions $𝔽$ d'esta àlgebra $𝔸$ és precisament el cos dels números superreales, si dit cos de fraccions conté estrictament un conjunt identificable en els número real $ℝ$, de tal manera que $𝔽$ no és isomorfo en orden a $ℝ$. Si l'ideal P és ademés un ideal primer i per tant un ideal maximal, llavors $𝔽$ coincidix en el cos dels números hiperreales de A. Robinson. Per lo que els números hiperreales poden considerar-se un cas particular de números superreales.

Referències

Bibliografia

• (1996).«Super-real fields».The Clarendon Press Oxford University Press.14
• L. Gillman and M. Jerison: Rings of Continuous Functions, Van Nostrand, 1960.