Número primo de Wilson

Un número primo de Wilson o número de Wilson, cridat aixina en honor al matemàtic John Wilson, és un tipo de primer p tal que p² dividix a (p − 1)! + 1, a on «!» denota la funció factorial. Té certa similitut en el teorema de Wilson, el qual cita que cada número primo p dividix a (p − 1)! + 1.

Els únics número primo de Wilson coneguts fins a la data són el 5, 13 i el 563 Plantilla:OEIS. Si existixen atres cosins de Wilson, a banda dels anteriors, estos deuen ser majors que 5Plantilla:I. S'ha conjeturado que existixen infinitat de cosins de Wilson, i que la cantitat d'número primo de Wilson dins d'un interval [x, i] està entorn a log(log(i) / log(x)).

S'han realisat vàries busques informàtiques en l'esperança de trobar nous número primo de Wilson. El proyecte Ibercivis de computació distribuïda inclou una busca d'número primo de Wilson. Es va coordinar una atra busca en el fòrum Great Internet Mersenne Prime Search.

Generalisacions

Primers de Wilson d'orde n

La teorema de Wilson es pot expressar en forma general com $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1{)}^{n}modp$ para tot número entero $n\ge 1$ i primer $p\ge n$. Els cosins de Wilson generalisats d'orde n són els cosins p tals que $p^2$ dividix a $(n-1)!(p-n)!-(-1{)}^n$.

Es conjeturó que per cada número natural n, existixen infinits número primo de Wilson d'orde n.

$n$ Primer $p$ tal que $p^2$ dividix a $(n-1)!(p-n)!-(-1{)}^n$ (comprovat fins a 1000000) Seqüència OEIS 1 5, 13, 563, ... Plantilla:OEIS 2 2, 3, 11, 107, 4931, ... Plantilla:OEIS 3 7, ... 4 10429, ... 5 5, 7, 47, ... 6 11, ... 7 17, ... 8 ... 9 541, ... 10 11, 1109, ... 11 17, 2713, ... 12 ... 13 13, ... 14 ... 15 349, 41341, ...

$n$ Primer $p$ tal que $p^2$ dividix a $(n-1)!(p-n)!-(-1{)}^n$ (comprovat fins a 1000000) Seqüència OEIS 16 31, ... 17 61, 251, 479, ... Plantilla:OEIS 18 13151527, ... 19 71, 621629, ... 20 59, 499, 43223, 214009, ... 21 217369, ... 22 ... 23 ... 24 47, 3163, ... 25 ... 26 97579, ... 27 53, ... 28 347, 739399, ... 29 ... 30 137, 1109, 5179, ...

Els cosins de Wilson generalisats més menuts d'orde n són:

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (el següent terme és > 1.4 × 10⁷) Plantilla:OEIS

Cosins propencs de Wilson

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Un primer p que satisfà la congruència (p − 1)! ≡ −1 + Bp mod p² en un chicotet Plantilla:Absf pot cridar-se primer propenc de Wilson. Els número primo propencs de Wilson en B = 0 es denominen número primo autèntics de Wilson. La taula de la dreta enumera tots eixos cosins en Plantilla:Absf ≤ 100 des de 10⁶ fins a 4Plantilla:I:

Números de Wilson

Un número de Wilson és un número natural n tal que W(n) ≡ 0 (mod n²), a on $W(n)=\prod _{\stackrel{1\le k\le n}{\text{mcd}(k,n)=1}}k+e$, la constant i és igual a 1 si i solament si n té una raïl primitiva, en cas contrari, i = −1. Per a cada número natural n, W(n) és divisible per n, i els cocients (cridats cocients de Wilson generalisats) s'enumeren en Plantilla:OEIS. Els números de Wilson són

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... Plantilla:OEIS

Si un número de Wilson n és primer, llavors n és un número primo de Wilson. Hi ha 13 números de Wilson fins a 5Plantilla:I.

Vore també

• Número primo de Wieferich
• Número primo de Wall-Sun-Sun
• Número primo de Wolstenholme
• Teorema de Wolstenholme
• PrimeGrid
• Taula de congruència

Bibliografia

• Beeger, N. G. W. H. (1913–1914). “Quelques remarques sur els congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²)”. The Messenger of Mathematics 43: 72–84.
• Goldberg, Karl (1953). “A table of Wilson quotients and the third Wilson prime”. J. London Math. Soc. 28 (2): 252–256. doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
• Ribenboim, Paulo (1996). The new book of prime number records, Springer Science+Business Mija, pp. 346. ISBN 978-0-387-94457-9.
• “A search for Wieferich and Wilson primes” (1997). Math. Comput. 66 (217): 433–449. doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6. Bibcode: 1997MaCom..66..433C.
• (2001) Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer-Verlag, p. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
• Pearson, Erna H. (1963). “On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²)”. Math. Comput. 17: 194–195.