Teorema de Wolstenholme

En matemàtica, la teorema de Wolstenholme afirma que per a un número primo p > 3, la congruència

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1mod{p}^3$

és verdadera, a on la part esquerra de l'igualtat és un coeficient binomial.
Per eixemple, en p = 7, diu que 1716 és un més que un múltiple de 343. La teorema va ser demostrada per Joseph Wolstenholme en 1862; Charles Babbage havia mostrat l'equivalència per a p² en 1819.

No se sap si un número compuesto complix la teorema de Wolstenholme. Molt pocs número primo satisfan l'equivalència per a p⁴: els dos únics valors que la complixen són: 16843 i 2124679 (Plantilla:OEIS), i són cridats números de Wolstenholme.
Esta teorema pot ser descompost en atres dos resultats:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{p-1}\equiv 0mod{p}^2$
i

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{(p-1{)}^2}\equiv 0modp.$

Per eixemple, en p = 7, el primer d'ells diu que 1764 és un múltiple de 49, mentres que el segon diu que 773136 és múltiple de 7.

Eixemples i discussió dels mateixos

Es va a provar la congruència de Wolstenholme en la seua forma original. Per a això, s'utilisa un cas particular de l'identitat de Vandermonde

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})=\sum _{i=0}^p{(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}^2=2+\sum _{i=1}^{p-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}^2$

Se seguix que la congruència :$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2(mod{p}^3)$ és equivalent a $\sum _{i=1}^{p-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}^2\equiv 0mod{p}^3$.

Bibliografia

• [1] Granville, A., Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients module prime powers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, vol 20 (1997) pp. 253-275.
• [2] Hardy, G.H., Wright, E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed., Oxford University Press, 1975.
• [3] Restrepo Taula, P., On the elemental symmetric functions of 1^{p^k}, 2^{p^k}, ldots, (p-1)^{p^k}, Mathematical Reflections 4 (2006).