Número estrany

Diagrama de Euler dels números menors de 100, classificats com abundants, abundants primitius, altamante abundants, superabundantes, colosalmente abundants, altament composts, altament composts superiors, estranys i perfectes en relació en la seua deficiència i composició de factors

En teoria de números, un número estrany (o també número rar) és un número natural que és abundant pero no semiperfecto. En atres paraules, la suma dels divisores del número (que per definició, inclouen a l'1 pero no a sí mateixa), és major que el número, pero cap subconjunt d'estos divisores suma el propi número.

Eixemples

El número estrany més chicotet és 70. Els seus divisores propis són 1, 2, 5, 7, 10, 14 i 35; estos sumen 74, pero cap subconjunt d'estes sumes dona 70. El número 12, per eixemple, és abundant pero no és estrany, perque els divisores propis de 12 són 1, 2, 3, 4 i 6, que sumen 16; pero 2 + 4 + 6 = 12.

Els primers números estranys són

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ...

Plantilla:OEIS.

Propietats

Existix una cantitat infinita de números estranys. Per eixemple, 70p és estrany para tot primer p ≥ 149. De fet, el conjunt dels números estranys té densitat asintòtica positiva.

No se sap si existixen números estranys impars. Si és aixina, deuen ser majors que 10²¹.

Sidney Kravitz ha demostrat que per a un número entero positiu k, un número primo Q superior a 2^k i

$R=\frac{2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^k}$

també primer i major que 2^k, llavors

$n=2^{k-1}QR$

és un número estrany. En esta fòrmula, va trobar el gran número estrany

$n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\approx 2\cdot 10^{52}.$

Números estranys primitius

Una propietat dels números estranys és que si n és rar, i p és un número primo major que la suma de divisores σ(n), llavors pn també és estrany. Açò du a la definició de números estranys primitius, és dir, números estranys que no són un múltiple d'atres números estranys Plantilla:OEIS. Solament hi ha 24 números estranys primitius menors d'un milló, en comparació a 1765 números estranys fins a eixe llímit. La construcció de Kravitz produïx números estranys primitius, ya que tots els números estranys de la forma $2^{k}pq$ són primitius, pero no es garantisa l'existència d'un número infinit de parelles k i Q que produïxquen un R primer. S'ha conjecturado que existixen infinits números estranys primitius, i Melfi ha demostrat que l'infinitat de números estranys primitius és una conseqüència de la conjectura de Cramér.

S'han trobat números estranys primitius en fins a 16 factors primers i 14712 dígits.

Vore també

• Número intocable