Número altament abundant

Sumes dels divisores visualisats per mig de regletas de Cuisenaire dels primers sis números molt abundants

En matemàtiques, un número altament abundant és un número natural en la propietat de que la suma de les seues divisores (inclós ell mateixa) és major que la suma dels divisores de qualsevol número natural menor.

Els números molt abundants i vàries classes similars de números varen ser introduïts per primera volta per Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1943), i Leonidas Alaoglu i Paul Erdős (1944) va realisar els primers treballs sobre el tema. Alaoglu i Erdős tabularon tots els números altament abundants fins a 10⁴ i varen demostrar que la cantitat de números altament abundants menors que qualsevol N és a lo manco proporcional a log² N.

Definició formal i eixemples

Formalment, un número natural n es denomina altament abundant si i solament si para tots els número natural m < n,

$\sigma (n)>\sigma (m)$

a on σ denota la funció suma de divisores. Els primers números molt abundants són

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... Plantilla:OEIS.

Per eixemple, 5 no és altament abundant perque σ(5)= 5+1= 6 és menor que σ(4)= 4 + 2 + 1= 7, mentres que 8 és altament abundant perque σ(8)= 8 + 4 + 2 + 1= 15 és major que tots els valors anteriors de σ.

Els únics número impar altament abundants són l'1 i el 3.

Relacions en atres conjunts de números

Archiu:Euler diagram numbers with many divisors es.svg

Diagrama de Euler dels números menors de 100, classificats com abundants, abundants primitius, altamante abundants, superabundantes, colosalmente abundants, altament composts, altament composts superiors, estranys i perfectes en relació en la seua deficiència i composició de factors

Encara que els primers huit factorialés són altament abundants, no tots els factorials són altament abundants. Per eixemple,

σ(9!)= σ(362880)= 1481040,

pero hi ha un número més chicotet en major suma de divisores,

σ(360360)= 1572480,

i per lo tant, 9! no és altament abundant.

Alaoglu i Erdős varen senyalar que tots els números superabundantes són altament abundants i varen preguntar si hi ha un número infinit de números altament abundants que no són sobreabundantes. Esta pregunta va ser resposta afirmativamente per Jean-Louis Nicolas (1969).

A pesar de la terminologia, no tots els números altament abundants són números abundants. En particular, cap dels primers sèt números altament abundants (1, 2, 3, 4, 6, 8 i 10) són abundants. Junt en el 16, el nové número altament abundant, estos són els únics números altament abundants que no són abundants.

7200 és el número poderós més gran que també és altament abundant: tots els números més grans i altament abundants tenen un factor primer que els dividix solament una volta. Per lo tant, 7200 és també el major número altament abundant en una suma impar de divisores.