Número defectiu

En teoria de números, un número defectiu o número deficiente és un número n per al que la suma de les seues divisores és menor que 2n. De manera equivalent, és un número per al que la suma de les seues divisores propis (o suma alícuota) és menor que n. Per eixemple, els divisores propis de 8 són 1, 2 i 4, i la seua suma és menor que 8, per lo que 8 és deficient.

Denotant per σ(n) a la suma dels divisores, el valor 2n − σ(n) és la deficiència del número n. En térmens de la suma alícuota s(n), la deficiència és n - s(n).

Eixemples

Els primers número deficiente són

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32 , 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... Plantilla:OEIS

Com a eixemple, considere's el número 21. Els seus divisores són 1, 3, 7 i 21, i la seua suma és 32. Com 32 és menor que 42, el número 21 és deficient. La seua deficiència és 2 × 21 − 32 = 10.

Propietats

Ya que les sumes alícuotas dels número primo són iguals a 1, tots els número primo són deficients.^[1] Més generalment, tots els número impar en un o dos factors primers distints són deficients. D'això es deduïx que hi ha infinits número deficiente impars. També hi ha un número infinit d'número deficiente parells, ya que totes les potències de dos tenen la suma ( $1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 x -1 = 2 x - 1$ ).

De manera més general, totes les potències primeres $p^{k}$ són deficients^[1]^[2] perque els seus únics divisores propis són $1, p, p^{2}, \dots, p^{k - 1}$ , que sumen $\frac{p^{k} - 1}{p - 1}$ , que és com a molt $p^{k} - 1$ .

Tots els divisores propis d'número deficiente són deficients. Ademés, tots els divisores propis de número perfecte són deficients.^[1]^[2]

Existix a lo manco un número deficiente en l'interval $[n, n + (\log n)^{2}]$ per a tot n suficientment gran.^[3]

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Weisstein, Eric W.. «Deficient Number» (en en).
↑ ^2,0 ^2,1 «The Prime Glossary: deficient number».
↑ Sándor et al (2006) p.108

Bibliografia

(2006) Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer Science+Business Mija. ISBN 1-4020-4215-9.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número defectivo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Weisstein, Eric W.. «Deficient Number» (en en).

[:1-2] 2,0 ^2,1 «The Prime Glossary: deficient number».

[HBI108-3] Sándor et al (2006) p.108

[1]

[2]

[3]