Matriu de Hurwitz

En matemàtiques, una matriu de Hurwitz, matriu de Routh-Hurwitz; o matriu d'estabilitat en ingenieria, és una matriu quadrada estructurada en els reals, construïda en els coeficients d'un polinomi real.

Criteri de la matriu i estabilitat de Hurwitz

Donat un polinomi real

p (z) = a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} z + a_{n},

la matriu quadrada $n \times n$

H = (\begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{1} & a_{3} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & a_{0} & a_{2} & ⋱ & 0 & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & 0 & a_{1} & ⋱ & a_{n} & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & a_{0} & ⋱ & a_{n - 1} & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & 0 & a_{n - 2} & a_{n} & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & a_{n - 3} & a_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n - 4} & a_{n - 2} & a_{n} \end{matrix}) .

és cridada matriu de Hurwitz corresponent al polinomi $p$ . Va ser establit per Adolf Hurwitz en 1895 que un polinomi real és estable (és dir, que totes les seues raïls tenen una partix real estrictament negativa) sí i solament sí tots els primers menors de la matriu $H (p)$ són positius:

\begin{matrix} Δ_{1} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} \end{matrix} | & = a_{1} > 0 \\ Δ_{2} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} | & = a_{2} a_{1} - a_{0} a_{3} > 0 \\ Δ_{3} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} | & = a_{3} Δ_{2} - a_{1} (a_{1} a_{4} - a_{0} a_{5}) > 0 \end{matrix}

i aixina. Els menors $Δ_{k} (p)$ són cridats determinants de Hurwitz.

Matrius estables de Hurwitz

En ingenieria i teoria de l'estabilitat, una matriu quadrada $A$ és cridada matriu d'estabilitat (o, a voltes, matriu de Hurwitz) si cada valor propi de $A$ té una partix real estrictament negativa, és dir,

R e [λ_{i}] < 0

per a cada valor propi $λ_{i}$ . $A$ també és cridada una matriu d'estabilitat, perque l'equació diferencial

\dot{x} = A x

és asintóticamente estable, és dir que $x (t) \to 0$ quan $t \to \infty .$

Si $G (s)$ és una funció de transferència (valorada per la matriu), llavors $G$ és cridada Hurwitz si els pols de tots els elements de $G$ tenen una part real negativa. Note's que no és necessari que $G (s),$ per a un argument específic $s,$ siga una matriu de Hurwitz — ni tan sols és necessari que siga quadrada. La conexió és que si $A$ és una matriu de Hurwitz, llavors el sistema dinàmic

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

y (t) = C x (t) + D u (t)

té una funció de transferència de Hurwitz.

Qualsevol punt fix hiperbòlic (o punt d'equilibri) d'un sistema dinàmic continu és local i asintóticamente estable sí i solament sí el jacobiano del sistema és estable per Hurwitz en el punt fix.

La matriu d'estabilitat de Hurwitz és una part crucial en la teoria del control. Un sistema és estable si la seua matriu de control és una matriu de Hurwitz. Els components reals negatius dels valors propis de la matriu representen una realimentació negativa. De la mateixa manera, un sistema és inherentemente inestable si algun dels seus valors propis tenen components reals positius, representant realimentació positiva.

Referències

(1895).«Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt».Mathematische Annalen.Sajonia, Alemània:46

273-284.ISSN 0025-5831.doi:10.1007/BF01446812.

Gantmacher, Felix R. (1959). Applications of the Theory of Matrius (en anglés), Nova York, Estats Units: Dover, pp. 1-8. ISBN 978-0-486-44554-0.
Khalil, Hassan K. (2001). Nonlinear Systems, 3ra edició (en anglés), Nova Jersey, Estats Units: Prentice Hall. ISBN 978-0-130-67389-3.
(1970).«On the Hurwitz matrix».Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.Birkhäuser.Suïssa:21(3)

498–500.ISSN 0044-2275.doi:10.1007/BF01627957.

(1970).«On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix».Journal on Applied Mathematics.Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).Pennsilvània, Estats Units:18(2)

407-414.ISSN 0036-1399.

(2005).«Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials».Journal of Approximation Theory.Elsevier.132(2)

212-223.ISSN 0021-9045.doi:10.1016/j.jat.2004.10.010.

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz de Hurwitz» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.