Hidrodinàmica de partícules suavisades

Hidrodinàmica de partícules suavisades (SPH) és un método computacional utilisat per a simular la dinàmica de mijos continus com la mecànica de sòlits i els fluix de decorregut. Ha segut desenrollat per Gingold i Monaghan (1977) inicialment per a problemes astrofísics. El seu us comprén múltiples camps d'investigació, incloent astrofísica, balística, vulcanologia i oceanografia. És un método de Lagrange (a on les coordenades es mouen en el decorregut) sense malla, i la resolució del método es pot ajustar fàcilment sobre variables com la densitat.

Erro al crear miniatura:

Simulació d'hidrodinàmica de partícules suavisades: camps de pressió d'un fluix de trencament d'assut utilisant la formulació estàndar δ-SPH.

Método

El método smoothed-particle hydrodynamics (SPH) funciona dividint el decorregut en un conjunt d'elements discrets, als quals es referix com a partícules. Estes partícules tenen una distància espacial (coneguda com "llongitut de suavisat", típicament representada en equacions com $h$), sobre les quals les seues propietats es "suavisen" per mig d'una funció núcleu. Açò significa que la cantitat física de qualsevol partícula es pot obtindre sumant les propietats rellevants de totes les partícules que es troben dins del ranc del núcleu.

La contribució de cada partícula a una propietat es pondera d'acort en la seua distanciación de la partícula d'interés, i la seua densitat. Matemàticament, açò està definit per una funció de núcleu (símbol $W$). Les funcions de núcleu utilitats habitualment inclouen la funció gaussiana i l'Interpolació Segmentaria Cúbica. Esta última és exactament zero per a les partícules que estiguen més alluntades que el doble de la distància de suavisat (a diferència de la gaussiana, a on hi ha una chicoteta contribució des de qualsevol distància finita). Açò té la ventaja d'aforrar recursos computacionals dau a no incloure les contribucions menys significantes de partícules distants.

L'equació per a qualsevol cantitat $A$ en qualsevol punt $𝐫$ es dona per mig de l'equació

$A(𝐫)=\sum _j{m}_j\frac{A_j}{{\rho }_j}W(|𝐫-{𝐫}_j|,h),$

on $m_j$ és la massa de la partícula $j$, $A_j$ és el valor de la cantitat $A$ per a la partícula $j$, ${\rho }_j$ és la densitat associada en la partícula $j$, $𝐫$ denota posició i $W$ és la funció de núcleu mencionada anteriorment. Per eixemple, la densitat de la partícula $i$ (${\rho }_i$) pot expressar-se cóm:

${\rho }_i=\rho ({𝐫}_i)=\sum _j{m}_j\frac{{\rho }_j}{{\rho }_j}W(|{𝐫}_i-{𝐫}_j|,h)=\sum _j{m}_{j}W(|{𝐫}_i-{𝐫}_j|,h),$

a on el sumatorio de $j$ inclou totes les partícules de la simulació.

Similarment, la derivada espacial de la cantitat pot obtindre's fàcilment en virtut de la linearidad de la derivada (nabla, $\mathrm{\nabla }$).

$\mathrm{\nabla }A(𝐫)=\sum _j{m}_j\frac{A_j}{{\rho }_j}\mathrm{\nabla }W(|𝐫-{𝐫}_j|,h).$

A pesar de que el tamany de la llongitut de suavisat pot ser fix tant en espai com en temps, açò no es beneficia de la capacitat màxima de SPH. Assignant a cada partícula la seua pròpia distància de suavisat i permetent-li variar en el temps, la resolució d'una simulació pot fer-se adaptar a sí mateixa depenent de les condicions locals. Per eixemple, en una regió molt densa, a on moltes partícules es troben molt prop entre sí, la distància de suavisat pot ser relativament curta, produint una resolució espacial alta. A l'inversa, en regions de baixa densitat, a on les partícules individuals estan separades i la resolució és baixa, la distància de suavisat es pot incrementar, optimisant la computació per a regions d'interés. Combinat en una equació d'estat i un integrador, SPH pot simular fluix hidrodinàmics de forma eficient. No obstant, la formulació de la viscosidad artificial tradicional utilisada en SPH tendix a difuminar els choques i les discontinuïtats de contacte molt més que els models basats en malla més moderns.

L'adaptabilitat de SPH basada en métodos de Lagrange és anàloga a l'adaptabilitat trobada en còdics de refinament de malla adaptatiu basats en malla. D'algunes maneres, és en realitat més senzill perque les partícules SPH carixen de topología explícita que les interrelacione, a diferència dels elements en métodos d'elements finitos. L'adaptabilitat en SPH es pot conseguir de dos modos; o ben canviant les distàncies de suavisat de les partícules, o ben dividint les partícules SPH en partícules 'filles' en distàncies de suavisat més menudes. El primer método és comú en simulacions astrofísiques, a on les partícules evolucionen de forma natural en estats en grans diferències de densitat. No obstant, en simulacions hidrodinàmiques a on la densitat és habitualment (aproximadament) constant, açò no és un método adequat per a adaptabilitat. Per esta raó es pot utilisar la divisió de partícules, en vàries condicions per a dividir, com a distància, superfície lliure o cort de material.

Habitualment, en astrofísica, un desija modelar la autogravedad, a majors d'hidrodinàmica pura. La naturalea basada en partícules de SPH fa ideal combinar en este método atre que incloga gravetat basada en partícules, com per eixemple una simulació en arbre, malla de partícules, o particle-particle particle-mesh.

Usos en astrofísica

La resolució adaptable de SPH, conservació numèrica de les cantitats físiques conservades, i l'habilitat per a simular fenomens comprenent múltiples órdens de magnitut fan el método ideal per a càlculs computacionals en astrofísica teòrica.

Simulacions de formació i evolució de les galàxies, formació estelar, supernovas i impactes de meteorits són algunes de les múltiples varietats d'usos astrofísics i cosmológicos d'este método.

SPH és usat per a modelar fluix hidrodinàmics, incloent possibles efectes de gravetat. Incorporar atres processos astrofísics que poden resultar importants, tals com la teoria del transport radiativo i camps magnètics és un àrea d'investigació activa en la comunitat astronòmica, i ha tingut algun èxit.

Bibliografia

• [1] R.A. Gingold and J.J. Monaghan, "Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to senar-spherical stars," Mon. Not. R. Astron. Soc., Vol 181, pp. 375–89, 1977.
• [2] L.B. Lucy, "A numerical approach to the testing of the fission hypothesis," Astron. J., Vol 82, pp. 1013–1024, 1977.
• [3] Hoover, W. G. (2006). Smooth Particle Applied Mechanics: The State of the Art, World Scientific.
• [4] Impact Modelling with SPH Stellingwerf, R. F., Wingate, C. A., Memorie della Societa Astronomia Italiana, Vol. 65, p. 1117 (1994).
• [5] Amada, T., Imura, M., Yasumuro, Y., Manabe, Y. and Chihara, K. (2004) Particle-based fluïu simulation on GPU, in proceedings of ACM Workshop on General-purpose Computing on Graphics Processors (August, 2004, Los Angeles, Califòrnia).
• [6] Desbrun, M. and Cani, M-P. (1996). Smoothed Particles: a new paradigm for animating highly deformable bodies. In Proceedings of Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation (August 1996, Poitiers, France).

• [7] Harada, T., Koshizuka, S. and Kawaguchi, Y. Smoothed Particle Hydrodynamics on GPUs. In Proceedings of Computer Graphics International (June 2007, Petropolis Brazil).
• [8] Hegeman, K., Carr, N.A. and Miller, G.S.P. Particle-based fluïu simulation on the GPU. In Proceedings of International Conference on Computational Science (Reading, UK, May 2006). Proceedings published as Lecture Notes in Computer Science v. 3994/2006 (Springer-Verlag).
• [9] M. Kelager. (2006) Lagrangian Fluïu Dynamics Using Smoothed Particle Hydrodynamics, M. Kelagar (MS Thesis, Univ. Copenhagen).
• [10] Kolb, A. and Cuntz, N. (2005) ] Dynamic particle coupling for GPU-based fluïu simulation, A. Kolb and N. Cuntz. In Proceedings of the 18th Symposium on Simulation Techniques (2005) pp. 722–727.
• [11] Liu, G.R. and Liu, M.B. Smoothed Particle Hydrodynamics: a meshfree particle method. Singapore: World Scientific (2003).
• [12] Monaghan, J.J. (1992). Smoothed Particle Hydrodynamics. Annu. Rev. Astron. Astrophys. (1992). 30 : 543-74.
• [13] Muller, M., Charypar, D. and Gross, M. ] Particle-based Fluïu Simulation for Interactive Applications, In Proceedings of Eurographics/SIGGRAPH Symposium on Computer Animation (2003), eds. D. Breen and M. Lin.
• [14] Vesterlund, M. Simulation and Rendering of a Viscous Fluïu Using Smoothed Particle Hydrodynamics, (MS Thesis, Umea University, Sweden).
• [15] Violeau, D., Fluïu Mechanics and the SPH method. Oxford University Press (2012).