Gas de Fermi

Un gas de Fermi és en un model físic, un sistema ideal de fermiones lliures, és dir, que no interactuen entre sí, a diferència d'un líquit de Fermi, en el que sí existixen interaccions. ya que protones, neutrons i electrons estan descrits per l'estadística de Fermi, es poden descriure en una primera aproximació en este model de gas de Fermi els nucleones en l'interior del núcleu atòmic, els neutrons en una estrela de neutrons o els electrons de conducció d'un metal o semiconductor.

La distribució de l'energia dels fermiones en un gas de Fermi en equilibri tèrmic es determina pel seu densitat, temperatura, i el conjunt d'estats d'energia disponible, a través de l'estadística de Fermi-Dirac.

Pel principi de Pauli, cap estat quàntic pot ser ocupat per més d'un fermión (en propietats idèntiques), i aixina un gas de Fermi, a diferència d'un gas de Bose, està prohibit que condense en un condensado de Bose-Einstein. Per lo tant l'energia total del gas de Fermi en el zero absolut és major que la suma de les energies dels estats fonamentals de les partícules aïllades, degut a que el principi de Pauli actua com una espècie d'interacció/pressió que manté als fermiones separats i en moviment. Per esta raó, la pressió d'un gas de Fermi és distinta de zero, inclús a temperatura zero, en contrast en la d'un gas ideal clàssic. Esta cridada pressió de degeneració estabilisa una estrela de neutrons (un gas de Fermi de neutrons) o una estrela nana blanca (un gas de Fermi d'electrons) contra la força centrípeta de la gravetat, que aparentment provocaria el colapse de l'estrela en un forat negre. Només quan una estrela és suficientment massiva per a superar la pressió de degeneració pot colapsar en una singularitat..

Temperatura de Fermi. Energia de Fermi. Superfície de Fermi.

És possible definir una temperatura de Fermi, per baix del com el gas es pot considerar degenerado (la pressió es deriva casi exclusivament del principi de Pauli). Esta temperatura depén de la massa dels fermiones i la densitat d'estats d'energia. Per als metals, la temperatura del gas d'electrons de Fermi és generalment de molts mils de kelvins, aixina que en aplicacions en sers humans poden ser considerats degenerados.

L'energia màxima dels fermiones en el zero de temperatura es diu l'energia de Fermi. La superfície de l'energia de Fermi en l'espai de moments es coneix com la superfície de Fermi.

Ya que les interaccions entre partícules no existixen per definició, el problema del tractament de les propietats d'equilibri i el comportament dinàmic d'un gas de Fermi es reduïx a l'estudi del comportament de les partícules individuals independents.

Com a tal, és relativament manejable i constituïx el punt de partida de les teories més alvançades que s'ocupen de l'interacció (com la teoria del líquit de Fermi o la teoria de destorbament).

Aspectes generals

Artícul principal → Estadística de Fermi-Dirac.

Un gas de Fermi compost per partícules idèntiques seguix l'estadística de Fermi-Dirac, de la qual es deduïx que:

(1) $\overline{n_k}=\frac{1}{e^{({ϵ}_k-\mu )/kT}+1}$

que representen els valors mijos dels números d'ocupació per a un gas de Fermi. Per a un gas de Fermi tots els números d'ocupació són $\overline{n_k}\le 1$. La normalisació impon:

$N=\sum _k\frac{1}{e^{({ϵ}_k-\mu )/kT}+1}$

a on N és el número total de partícules del gas. A partir d'ací es pot determinar el potencial termodinàmic.

El hamiltoniano d'un gas de Fermi constituït per N fermiones de massa m tancats en l'interior d'una caixa cúbica de costat L és:

(2) $H_0=\sum _{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m}$

a on l'energia de cada partícula individual és:

(3) $ϵ=\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}$

expressada en térmens de autovalores (és dir els valors d'energia accessibles al sistema): ${ϵ}_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$. Tenint en conte la degeneració d'espin $g=2s+1$ a on s és l'espin del fermión, el número de partícules en l'element de volum del espai de fases és:

(4) $gd\tau =g\frac{d{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_{z}dV}{(2\pi \hslash {)}^3}$

i per tant es té per a la distribució de Fermi:

(5) $dN=\frac{gd\tau }{e^{(ϵ-\mu )/kT}+1}$

Més precisament integrant l'equació anterior (5) en $dV$ s'obté la distribució de l'impuls:

(6) $d{N}_p=\frac{gV{p}^{2}dp}{2{\pi }^2{\hslash }^3[e^{(ϵ-\mu )/kT}+1]}$

i com $ϵ=p^2/2m$, es deduïx fàcilment la distribució d'energia:

(7) $d{N}_{ϵ}=\frac{gV{m}^{3/2}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\frac{\sqrt{ϵ}dϵ}{e^{(ϵ-\mu )/kT}+1}$

Les expressions (6) i (7) són les distribucions de Maxwell en el cas d'un gas de Fermi. El número total de partícules s'obté integrant l'expressió (7):

(8) $N=\frac{gV{m}^{3/2}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{ϵ}dϵ}{e^{(ϵ-\mu )/kT}+1}$

mentres que a partir de la (6) s'obté l'energia:

(9) $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}ϵd{N}_{ϵ}=\frac{gV{m}^{3/2}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{ϵ}^{3/2}dϵ}{e^{(ϵ-\mu )/kT}+1}$

Es pot obtindre el potencial termodinàmic a partir de la (7):

(10) $\Omega =-\frac{VgT\sqrt{(m{)}^3}}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{ϵ}^{3/2}dϵ}{e^{(ϵ-\mu )/kT}+1}$

que coincidix en l'energia llevat en un factor:

(11) $\Omega =-PV=-\frac{2}{3}E$

que és una relació del tot general que val per a tots els sistemes o distribucions, siguen de Bose, de Fermi o de Boltzmann.