Expansions de Edgeworth

La Série de Gram–Charlier A (nomenada en honor a Jørgen Pedersen Gram i Carl Charlier), i la série de Edgeworth (en honor a Francis Ysidro Edgeworth) són séries que aproximen una distribució de provabilitat en térmens de les seues cumulantes. Les séries són la mateixa, pero l'orde dels seus térmens varien (i per tant la seua exactitut per a truncar la série).

Série de Gram–Charlier A

L'idea fonamental d'estes expansions és escriure una funció característica en funció de densitat de provabilitat que s'aproxime en térmens de la funció característica d'una funció d'una distribució en propietats conegudes i recuperar la funció inicial per mig de l'inversa de la transformada de Fourier.

Siga f la funció característica de la distribució la funció de la qual de densitat és F, i κ_r els seus cumulantes. S'expandix en térmens d'una distribució coneguda en densitat de provabilitat $\Psi$, funció característica $\psi$ i cumulantes estàndarγ_r. És comú triar la distribució normal com $\Psi$, pero també és possible triar unes atres. Per definició dels cumulantes es té la següent identitat:

$f(t)=\exp [\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}({\kappa }_r-{\gamma }_r)\frac{(it{)}^r}{r!}]\psi (t).$

Per les propietats de la transformada de Fourier, (it)^rψ(t) és la transformada de Fourier de (−1)^r D^r $\Psi$(x), a on D és l'operador diferencial respecte a x. Per tant, s'obté per a F l'expansió

$F(x)=\exp [\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}({\kappa }_r-{\gamma }_r)\frac{(-D{)}^r}{r!}]\Psi (x).$

Si s'elegix $\Psi$ com la normal en mija i varianza donades per F, és dir, mija μ = κ₁ i varianza σ² = κ₂, llavors l'expansió és

$F(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\mathrm{\infty }}{\kappa }_r\frac{(-D{)}^r}{r!}\right]\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}].$

En expandir l'exponencial i agrupant lo térmens segons l'orde de les derivades s'obté la série de Gram–Charlier A. En incloure solament primers dos térmens de correcció de la normal s'obté

$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}][1+\frac{{\kappa }_3}{3!{\sigma }^3}{H}_3\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)+\frac{{\kappa }_4}{4!{\sigma }^4}{H}_4\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)],$

en H₃(x) = x³ − 3x i H₄(x) = x⁴ − 6x² + 3 (Polinomis de Hermite).

Note's que esta expressió no és necessàriament positiva i per lo tant, no és una distribució de provabilitat vàlida. La série de Gram–Charlier A divergix en molts casos. La série convergix solament si F(x) decreix més ràpit que exp(−x²/4) cap a infinit (Cramér 1957). Quan no convergix, la série no pot ser una série asintòtica perque no és possible estimar l'error de l'expansió. per esta raó, la série de Edgeworth es preferix a la de Gram–Charlier A.

Série de Edgeworth

Edgeworth va desenrollar una expansió similar a partir del teorema del llímit central. La ventaja de la série de Edgeworth és que es controla l'error, sent aixina una verdadera série asintòtica.

Siga {X_i} una seqüència de variables aleatòries independent i idénticamente distribuïdes de mija μ i varianza σ², i siga I_n la seua suma estandardisada:

$Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^n\frac{X_i-\mu }{\sigma }.$

Siga F_n la funció de distribució acumulada de les variables I_n. Llavors per la teorema del llímit central,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(x)=\Phi (x)\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{q}^2}dq$

per a tot x, sempre que la mija i la varianza siguen finitas.

Ara assumixca que les variables aleatòries X_i tenen mija μ, varianza σ² i cumulantes de major orde κ_r=σ^rλ_r. Expandint en térmens de la distribució normal estàndart

$\Psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{1}{2}{x}^2)$

Llavors les diferències entre cumulantes en l'expressió de la funció característica f_n(t) de F_n són

${\kappa }_1^{F(n)}-{\gamma }_1=0,$

${\kappa }_2^{F(n)}-{\gamma }_2=0,$

${\kappa }_r^{F(n)}-{\gamma }_r=\frac{{\kappa }_r}{{\sigma }^r{n}^{r/2-1}}=\frac{{\lambda }_r}{n^{r/2-1}};r\ge 3.$

La série de Edgeworth es desenrolla de manera similar a la de Gram–Charlier A séries, solament que ara els térmens s'associen segons la potència de n. Aixina,

$f_n(t)=[1+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{P_j(it)}{n^{j/2}}]\exp (-t^2/2),$

a on P_j(x) és un polinomi de grau 3j. Novament, després d'invertir la transformada de Fourier, la funció de distribució F_n és

$F_n(x)=\Phi (x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{P_j(-D)}{n^{j/2}}\Phi (x).$

Els primers cinc térmens de l'expansió són

$\begin{array}{cc}{F}_n(x)=& \Phi (x)\\ & -\frac{1}{n^{1/2}}(\frac{1}{6}{\lambda }_3{\Phi }^{(3)}(x))\\ & +\frac{1}{n}(\frac{1}{24}{\lambda }_4{\Phi }^{(4)}(x)+\frac{1}{72}{\lambda }_3^2{\Phi }^{(6)}(x))\\ & -\frac{1}{n^{3/2}}(\frac{1}{120}{\lambda }_5{\Phi }^{(5)}(x)+\frac{1}{144}{\lambda }_3{\lambda }_4{\Phi }^{(7)}(x)+\frac{1}{1296}{\lambda }_3^3{\Phi }^{(9)}(x))\\ & +\frac{1}{n^2}(\frac{1}{720}{\lambda }_6{\Phi }^{(6)}(x)+(\frac{1}{1152}{\lambda }_4^2+\frac{1}{720}{\lambda }_3{\lambda }_5){\Phi }^{(8)}(x)\\ & +\frac{1}{1728}{\lambda }_3^2{\lambda }_4{\Phi }^{(10)}(x)+\frac{1}{31104}{\lambda }_3^4{\Phi }^{(12)}(x))\\ & +O(n^{-5/2}).\end{array}$

Ací Φ^(j)(x) és la j-ésima derivada de Φ(·) en x. Blinnikov i Moessner (1998) varen donar un algoritme senzill per a calcular els térmens de major orde de l'expansió.

Bibliografia

• H. Cramér. (1957). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton.
• D. L. Wallace. (1958). "Asymptotic approximations to distributions". Annals of Mathematical Statistics, 29: 635–654.
• M. Kendall & A. Stuart. (1977), The advanced theory of statistics, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York.
• P. McCullagh (1987). Tensor Methods in Statistics. Chapman and Hall, London.
• D. R. Cox and O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics. Chapman and Hall, London.
• P. Hall (1992). The Bootstrap and Edgeworth Expansion. Springer, New York.
• S. Blinnikov and R. Moessner (1998). Expansions for nearly Gaussian distributions. Astronomy and astrophysics Supplement séries, 130: 193–205.
• J. E. Kolassa (2006). Séries Approximation Methods in Statistics (3rd ed.). (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.