Espai-temps esféricament simètric

En física, els espais-temps esféricamente simètrics s'usen comunament per a obtindre solucions analítiques i numèriques a les equacions de camp d'Einstein en presència de pols en moviment radial, decorreguts compresibles o incompresibles (com matèria obscura ) o bariones (hidrogen). Degut a que els espais-temps esféricament simètrics són, per definició, irrotacionals, no són models realistes de forats negres en la naturalea. No obstant, les seues mètriques són considerablement més simples que les dels temps espacials rotatius, lo que les fa molt més fàcils d'analisar.

Els models esféricament simètrics no són del tot inapropiats: molts d'ells tenen diagrames de Penrose similars als dels temps espacials rotatius, i estos típicament tenen característiques qualitatives (com els horisons de Cauchy) que no es veuen afectats per la rotació. Una d'eixes aplicacions és l'estudi de l'inflació massiva per les contracorrent de matèria que cau en l'interior d'un forat negre.

Definició formal

Un espai-temps en simetria esfèrica és un espai-temps que el seu grup d'isometría conté un subgrup que és isomorfo al grup de rotació SO(3) i les òrbites d'este grup són 2-esferes (ordinàries esferes dos-dimensionals en espai euclidiano de tres dimensions). Les isometría s'interpreten llavors com a rotacions i un espai-temps esféricament simètric es descriu a sovint com aquell que la seua mètrica és "invariante baix rotacions". La mètrica de l'espai-temps induïx una mètrica en cada òrbita de 2 esferes (i esta mètrica induïda deu ser un múltiple de la mètrica d'una 2-esfera). Convencionalment, la mètrica en l'esfera 2 s'escriu en coordenades polars com:

$g_{\Omega }=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2$ ,

i llavors la mètrica completa inclou un terme proporcional a açò.

La simetria esfèrica és una traça característica de moltes solucions de les equacions de camp de la relativitat general d'Einstein, especialment la solució de Schwarzschild i la solució de Reissner-Nordström. Un espai-temps esféricament simètric es pot caracterisar d'una atra manera per mig de l'us de la noció de camps vectorials Killing, que, en un sentit molt precís, preserven la mètrica. Les isometría mencionades anteriorment són en realitat difeomorfismes de fluix local dels camps vectorials de Killing i, per lo tant, generen estos camps vectorials. Per a un espai-temps esféricament simètric $M$, hi ha exactament 3 camps de vectores rotatius de Killing. Dit d'una atra manera, la dimensió del àlgebra de Killing $K(M)$ és 3; és dir, $\dim K(M)=3$ . En general, cap d'estos és similar al temps, ya que això implicaria un espai-temps estàtic.

Se sap (vore la teorema de Birkhoff ) que qualsevol solució esféricament simètrica de les equacions de camp de buit és necessàriament isomètrica a un subconjunt de la solució de Schwarzschild máximament estesa. Açò significa que la regió exterior al voltant d'un objecte gravitante esféricament simètric deu ser estàtica i asintóticament plana .

Mètriques esféricament simètriques

Convencionalment, un usa coordenades esfèriques $x^{\mu }=(t,r,\theta ,\varphi )$, per a escriure la mètrica. Són possibles varis gràfics de coordenades ; estos inclouen:

• Coordenades de Schwarzschild
• Coordenades isotrópicas, en les que els cons de llum són redons i, per lo tant, útils per a estudiar pols nules .
• Coordenades polars gaussianas, a voltes utilisades per a estudiar decorreguts estàtics esfèrics simètrics perfectes.

• Ràdio circunferencial, donat a continuació, convenient per a estudiar l'inflació massiva.

Vore també

• De Sitter space

Referències

• Wald, Robert M. (1984). General Relativity, Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. Wald, Robert M. (1984). General Relativity, Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. Wald, Robert M. (1984). General Relativity, Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.