Diagrama de Penrose-Carter

Diagrama de Penrose d'un espai-temps de Minkowski infinit. Elimina dos dimensions espacials i concentra en una regió finita (en este cas en forma de diamant) el restant per mig de l'efecte d'una transformació conforme.

En física teòrica, en tractar de representar pictóricamente un espai-temps sorgixen dos problemes:

• l'espai-temps és una varietat de dimensió 4. Podem obviar açò usant les simetria del mateix, en cas de tindre-les, i representar una subvariedad de dimensió 2. Per eixemple, per a un espai-temps esféricamente simètric tots els punts d'una 2-esfera són equivalents i es poden representar per un sol punt d'un diagrama.
• les coordenades del mateix s'estenen fins a infinit. Açò pot solucionar-se substituint el espaciotiempo físic per un espaciotiempo no físic (el nostre diagrama) conforme en el primer.

Abdós problemes queden solucionats en els diagrames coneguts com a diagrames conformes, diagrames de Penrose-Carter o simplement diagrames de Penrose, diagrames bidimensionals que conserven l'informació sobre les relacions causals entre diversos punts del espai-temps i permeten representar regions infinites en diagrames finitos. Per a això, sacrifiquen informació sobre les distàncies entre punts. La mètrica dels diagrames de Penrose-Carter és conformemente equivalent en una restricció bidimensional de la mètrica real de l'espai-temps que representen. El factor conforme és elegit de modo que tot l'espai-temps es proyecte en un diagrama de dimensions finitas. La frontera de la nova figura no formarà part de l'espaciotiempo original, pero permetrà estudiar les seues propietats asintòtiques i les seues singularitats.

Cridat aixina en homenage al físic matemàtic Roger Penrose, per usar-los per volta primera en 1962 i al seu colega Brandon Carter, que els va sistematisar en 1966, un diagrama de Penrose-Carter compartix vàries característiques en l'espai-temps de Minkowski: les llínees oblicuas a 45° corresponen a trayectòries lluminoses, la dimensió vertical representa una coordenada temporal i l'horisontal a les dimensions espacials.

Eixemples

Espai de Minkowski

Per a representar el diagrama conforme d'un espai de Minkowski, podem pensar en l'expressió de la seua mètrica plana en coordenades esfèriques, i restringir-nos a la subvariedad coberta per les coordenades r i t. Estes coordenades comprenen un ranc infinit. Un primer intent de conseguir que cobrixquen un ranc finit seria usar les noves coordenades $T=\arctan (t)$ i $r=\arctan (r)$. Pero açò no conseguiria mantindre els cons de llum del nostre diagrama a 45°. Per a conseguir-ho, es realisa un triple canvi de coordenades:

• En primer lloc, el canvi a les coordenades nules $u=t-r$, $v=t+r$.
• Sobre elles, efectuem el canvi $U=\arctan (u)$, $V=\arctan (v)$.
• Finalment, tornem a coordenades $T=U+V$, $R=V-U$.

La mètrica en estes coordenades queda expressada per:

a on

$\omega =\cos T+\cos R$.

En lloc d'esta mètrica, que cridarem $g_0$, en el diagrama de Penrose representarem la mètrica conforme ${\omega }^2{g}_0$. Com les coordenades comprenen els rancs: $-\pi <R+T<\pi ,;-\pi <R-T<\pi$, el diagrama tindrà forma de diamant (o de triàngul si s'afig la condició de que R siga positiu).

Espai de Schwarzschild

Diagrama de Penrose d'un espai-temps de Schwarzschild. L'eix horisontal representa la coordenada espacial v, i el vertical la coordenada temporal o (no deuen confondre's en les coordenades nules de l'espai de Minkowski).

La figura mostra la representació d'un espai de Schwarzschild corresponent a un forat negre estàtic (sense rotació). La coordenada vertical anomenada « o » és la temporal, mentres que la coordenada horisontal « v » és espacial. El diagrama de Penrose ser, és dir que les geodèsiques de gènero nul (llínees de llum) corresponen a les mija-primera i segona bisectrices « altes ».

D'este sistema de coordenades derivat del de Kruskal es té:

El diagrama fet llavors per abstracció de dos coordenades esfèriques $\theta$ i $\varphi$. Els cons de llum delimitats per les geodèsiques nules (ds² = 0) corresponent a du² = dv², llavors {o = v} ou {o = -v}, és dir, les bisectrices primera i segona.

Partint de l'esquerra, dos rectes (primera i segona bisectrices) divergixen : la recta d'avall , cridada I-, representa « lo infinit del passat », d'esta provenen tots els mòvils des de lo infinitament lluntà ; la recta de dalt, I+, correspon al « infinit del futur », i representa el lloc cap a on es dirigixen tots els mòvils que es distancia despuix d'un forat negre. Les dos rectes horisontals i paraleles representen la singularitat (en el passage del passat al futur), situat en r = 0. este diagrama és simètric per relació en la vertical. En llínea discontínua està representat l'horisó d'un forat negre ubicat (en unitats convencionals) en r = 2M.

Vore també

• Singularitat espaciotemporal