Energia gravitatoria

Energia gravitatoria

En física newtoniana, la energia potencial gravitatoria és l'energia potencial associada en el camp gravitatorio. Esta dependrà de l'altura relativa d'un objecte a algun punt de referència, la massa i l'acceleració de la gravetat. En física relativista la situació és més complicada, ya que quan el sistema no estacionario, ni asintóticamente pla no sempre és possible definir una energia associada al camp gravitatorio, és més, el concepte de massa gravitatoria es torna indefinible en un espai-temps general no-estacionario.

Gravetat newtoniana

En mecànica newtoniana, l'energia potencial gravitatoria d'un sistema de masses la distribució de les quals no canvia mida en un punt de l'espai és el treball que realisa en un camp gravitatorio per a traslladar la massa des de dit punt fins a l'infinit. Segons la definició, l'energia potencial és sempre negativa i el seu màxim és sempre zero. L'energia potencial és la capacitat que tenen els cossos per a realisar un treball, depenent de la configuració que tinguen en un sistema de cossos que eixercixen forces entre sí. Pot pensar-se com l'energia almagasenada en un sistema, o com una mida del treball que un sistema pot entregar. Més fàcilment, l'energia potencial és una magnitut escalar associada a un camp de forces (o com en elasticitat a un camp tensorial de tensions). Quan l'energia potencial està associada a un camp de forces, la diferència entre els valors del camp en dos punts A i B és igual al treball realisat per la força per a traslladar la massa m des del punt B al punt A per qualsevol camí.

Causa

L'energia potencial gravitatoria es deu a la posició respecte a la del sol pres com referència. Per eixemple, si estàs botant sobre un trampolí de tres metros d'altura, tens 3 voltes més energia que en el trampolí d'1 metro. L'energia potencial que depén de l'altura es diu energia potencial gravitatoria. El pes determina també la cantitat d'energia potencial gravitatoria que té un objecte. El dit “Quant més grans són, en més soroll cauen” és una referència a l'efecte del pes en l'energia gravitacional. Tens molta més energia potencial gravitatoria si carregues una mochila pesada que si carregues una llaugera.

Si be la força gravitacional varia en l'altura, en les proximitats de la superfície terrestre la diferència és molt chicoteta com per a ser considerada, per lo que es considera l'acceleració de la gravetat com una constant. En la Terra per eixemple, l'acceleració de la gravetat és considerada de 9,8 m/s² en qualsevol part. En canvi en la Lluna, la gravetat de la qual és molt inferior, es generalisa el valor d'1,66 m/s².

Energia potencial gravitatoria per a chicotetes altures

Per al cas de cossos propencs a la superfície terrestre, a on es pot ignorar la disminució de l'intensitat del camp gravitatorio en l'altura, la relació matemàtica entre l'energia potencial gravitatoria, el pes i l'altura, pot expressar-se en la següent fòrmula:

I = pese · altura = massa · acceleració de la gravetat · altura = mgh

Segons esta fòrmula, quant major és el pes, major és l'energia potencial gravitatoria. Quant major és l'altura sobre una superfície, major és l'energia potencial gravitacional.

Este tipo d'energia està associada en la separació entre dos cossos, els quals s'atrauen per mig de la força gravitacional.

Energia potencial gravitatoria en el cas general

L'energia potencial gravitatoria O_g d'una partícula material de massa m situada dins del camp gravitatorio terrestre ve donada per:

$U_G(r)=-\frac{GMm}{r}$

Esta fòrmula servix per a estudiar el moviment de satèlits, missils balístics i objectes que no generen una gran acceleració en la terra.

A on:

• $r$: distància entre la partícula material del centre de la Terra (és dir, la seua altura).
• $G$: constant de gravitació universal.
• $M$: massa de la Terra.

En els casos en els que la variació de la gravetat és insignificant, s'aplica la fòrmula:

$U(r)=mgh$

A on $U$ és l'energia potencial gravitacional, $m$ la massa, $g$ l'acceleració de la gravetat, i $h$ l'altura.

Càlcul simplificat

Quan la distància recorreguda per un mòvil h és menuda, lo que succeïx en la majoria de les aplicacions usuals (tir parabòlic, bots d'aigua, etc.), podem usar el desenroll de Taylor de l'anterior equació. Aixina si cridem M a la massa de la Terra, m a la massa del cos, R al radi de la Terra i h a l'altura sobre la superfície de la Terra tenim:

$U_G(r)=-\frac{GMm}{(R+h)}\approx -\frac{GMm}{R}+\frac{GM}{R^2}mh=-\frac{GMm}{R}+mgh$

Tir parabòlic.

A on hem introduït l'acceleració sobre la superfície:

$g=\frac{GM}{R^2}\approx 9,80665\frac{m}{s^2}$

Per tant la variació de l'energia potencial gravitatoria en desplaçar-se un cos de massa m des d'una altura $h_1$ fins a una altura $h_2$ és:

$\Delta U_G\approx mg(h_2-h_1)$

Ya que l'energia potencial s'anula quan la distància és infinita, freqüentment s'assigna energia potencial zero a l'altura corresponent a la del sol, ya que lo que és d'interés no és el valor absolut d'O, sino la seua variació durant el moviment.

Aixina, si l'altura del sol és $h_1=0$, llavors l'energia potencial a una altura $h_2=h$ serà simplement $U_G=mgh$.

Energia del camp gravitatorio

En gravitació newtoniana, és possible assignar una certa energia al camp gravitatorio donada per:

Esta fòrmula és anàloga a l'energia electromagnètica. Esta energia sumada a l'energia cinètica de la masses es conserva. Per a vore-ho es diferencia l'equació de Poisson $\mathrm{\nabla }\cdot 𝒈=4\pi G{\rho }_m$ respecte al temps i usant l'equació de continuïtat tenim:

$\frac{\partial (\mathrm{\nabla }\cdot 𝒈)}{\partial t}=4\pi G\frac{\partial {\rho }_m}{\partial t}=-4\pi G\mathrm{\nabla }\cdot {𝒋}_m,\Rightarrow \frac{\partial 𝒈}{\partial t}=-4\pi G{𝒋}_m+\mathrm{\nabla }\times 𝒃$

a on ${𝒋}_m={\rho }_m𝒗$ és densitat de fluix másico, $𝒃$ és un camp vectorial construït a partir del camp gravitatorio i la distribució de massa (l'anàlisis dimensional dus a que deu tindre la forma $𝒃=Gk{\rho }_m𝒈$ sent $k$ una constant adimensional). Calculant ara la derivada de l'energia del camp gravitatorio i substituyendo les expressions anteriors tenim:

A on s'ha usat que $\mathrm{\nabla }\times 𝒈$ per ser conservativo dit camp. Per lo que es té finalment:

Gravetat relativista

AP

La teoria general de la relativitat pot considerar-se una teoria relativista de la gravitació, que corrig alguns aspectes insatisfactoris de la gravetat newtoniana i proporciona resultats més precisos concordes en les observacions. De fet, la teoria newtoniana és només una aproximació vàlida per a camps gravitatorios dèbils en els que la curvatura de l'espai-temps és menuda. Per a casos d'espai-temps estacionaris i asintóticamente plans és possible definir un anàlec de la massa gravitatoria i l'energia potencia gravitatoria, pero és un cas molt especial. En el cas general d'una distribució de masses orbitando d'una manera totalment general, cal abandonar el propi concepte de força gravitatoria i substituir-ho per la noció d'espai-temps curvat. Ademés l'energia en el cas relativiste general, deu ser modelizada per mig del tensor energia-impulse. En la teoria especial de la relativitat, açò proporciona sempre lleis de conservació de l'energia adequades, pero en la teoria general de la relativitat a on la pròpia geometria deformada de l'espai-temps varia, és complicat definir lleis de conservació globals de l'energia, a menos que la geometria siga particularment senzilla. Ademés en el cas general és impossible assignar una energia local ben definida al propi camp gravitatorio, a diferència de lo que succeïx en el camp electromagnètic que sempre té una energia ben definida localment encara que l'espai-temps estiga curvat o siga variable.