Distribució de Boltzmann

Provabilitat d'ocupació que seguix la distribució de Boltzmann i que depén de la diferència d'energia i temperatura

En mecànica estadística i matemàtiques, una distribució de Boltzmann (també cridat distribució de Gibbs) és una distribució de provabilitat, mida de provabilitat, o freqüència de distribució de partícules en un sistema per mig de varis estats possibles. La distribució s'expressa en la forma:

$F(\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o})\propto e^{-\frac{E}{kT}}$

A on I és l'energia de l'estat (que varia d'un estat a un atre), i kT (una constant de la distribució) és el producte de la constant de Boltzmann i la temperatura termodinàmica.

En la mecànica estadística, la distribució de Boltzman és una distribució de provabilitat que dona la provabilitat de que un sistema estarà en un estat segur com una funció de l'energia d'eixe estat i la temperatura del sistema. Es dona com:

$p_i=\frac{e^{-{\epsilon }_i/kT}}{\sum _{j=1}^M{e}^{-{\epsilon }_j/kT}}$

A on pi és la provabilitat de l'estat i, εi l'energia de l'estat i, k la constant de Boltzmann, T la temperatura del sistema i M és el número d'estats accessibles al sistema. La suma és sobre tots els estats accessibles al sistema d'interés. El terme sistema d'ací té un significat molt ampli; que pot variar des d'un simple àtom fins a un sistema macroscòpic com un tanc d'almagasenament de gas natural. Per açò la distribució de Boltzmann es pot utilisar per a resoldre una àmplia varietat de problemes. La distribució mostra que els estats en l'energia més baixa sempre tindrà una provabilitat més alta d'estar ocupat que els estats en energia més alta.

La proporció d'una distribució de Boltzmann calculada per a dos estats es coneix com el factor de Boltzmann i característicamente solament depén de la diferència d'energia dels estats.

$\frac{F(\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{o}}_{\mathrm{1}})}{F(\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{o}}_{\mathrm{2}})}=e^{\frac{E_1-E_2}{kT}}$

Se li dona el nom de distribució de Boltzmann per Ludwig Boltzmann, qui va formular per primera volta en 1868 durant els seus estudis de la mecànica estadística de gasos en equilibri tèrmic. La distribució va ser posteriorment investigada àmpliament, en la seua forma moderna, per Josiah Willard Gibbs en 1902.

La distribució de Boltzman no deu confondre's en l'estadística de Maxwell-Boltzmann. El primer dona la provabilitat de que un sistema estarà en un estat determinat com una funció de l'energia d'eixe estat. Quan s'aplica a partícules com a àtoms o molècules, que mostra la distribució de partícules sobre els estats d'energia. L'estadística de Maxwell-Boltzmann s'utilisa per a descriure les velocitats de les partícules en els gasos idealizados.

La distribució

La distribució de Boltzmann és una distribució de provabilitat que dona la provabilitat d'un cert estat este com una funció de l'energia i la temperatura del sistema al que s'aplica la distribució d'eixe estat. Es dona com:

$p_i=\frac{e^{-{\epsilon }_i/kT}}{\sum _{i=1}^M{e}^{-{\epsilon }_i/kT}}$

A on pi és la provabilitat de l'éstado i, εi l'energia d'estat i, k la constant de Boltzmann, T la temperatura del sistema i M és el número de tots els estats accessibles al sistema. La suma és sobre tots els estats accessibles al sistema d'interés. El denominador en l'equació anterior també es coneix com la funció de partició canònica, comunament representat per Q (o per alguns autors com Z).

$Q=\sum _{i=1}^M{e}^{-{\epsilon }_i/kT}$

Per lo tant, la distribució de Boltzman també es pot escriure com:

$p_i=\frac{1}{Q}{e}^{-{\epsilon }_i/kT}$

La funció de partició es pot calcular si coneixem les energies dels nivells accessibles al sistema d'interés. Per a àtoms els valors de la funció de partició es poden trobar en la base de senyes NIST Atòmics Spectra.

La distribució mostra que els estats en menor energia sempre tindran una major provabilitat d'estar ocupats que els estats en major energia. També nos pot donar la relació quantitativa entre les provabilitats dels dos estats que estan ocupats. La relació de les provabilitats dels estats i i j està donat com:

$\frac{p_i}{p_j}=e^{({\epsilon }_j-{\epsilon }_i)/kT}$

A on pi és la provabilitat de l'estat i, pj la provabilitat de l'estat _j, i εi i εi són les energies dels estats i i j, respectivament.

La distribució és a sovint utilisada per a descriure la distribució de partícules, com a àtoms o molècules, sobre els estats d'energia accessibles a ells. Si tenim un sistema compost de moltes partícules, la provabilitat de que una partícula estiga en l'estat i és pràcticament la provabilitat de que, si elegim una partícula a l'encert d'eixe sistema i comprovàrem que estat es troba, nos trobarem que s'està en l'estat i. Esta provabilitat és igual al número de partícules en l'estat i va dividir pel número total de partícules en el sistema, és dir la fracció de partícules que ocupen l'estat i.

$p_i=\frac{N_i}{N}$

A on N_i és el número de partícules en l'estat i i N és el número total de partícules en el sistema. Podem utilisar la distribució de Boltzmann per a trobar esta provabilitat que és, com hem vist, iguals la fracció de partícules que es troben en l'estat i. Aixina, que l'equació que dona la fracció de partícules en l'estat i com una funció de l'energia d'eixe estat és

$\frac{N_i}{N}=\frac{e^{-{\epsilon }_i/kT}}{\sum _{i=1}^M{e}^{-{\epsilon }_i/kT}}$

Esta equació és de gran importància per a l'espectroscòpia. En espectroscòpia observem una llínea espectral si àtoms o molècules que estem interessats van d'un estat a un atre. Per a que açò siga possible, deu haver algunes partícules en el primer estat que se someten a la transició. Podem trobar que esta condició es complix per mig de la busca de la fracció de partícules en el primar estat. Si és insignificant, la transició és molt provable que no s'observe en la temperatura per a la qual es realisa el càlcul. En general, una major fracció de les molècules en el primer estat significa un número major de transicions en el segon estat. Açò dona una llínea espectral més forta. no obstant, hi ha atres factors que influïxen en l'intensitat d'una llínea espectral, com si és causat per una transició prohibida.

En inteligència artificial

La distribució de Boltzmann és una distribució de provabilitat que s'utilisa en l'àmbit de l'inteligència artificial per a modelar sistemes estocàstics i deprendre distribucions de provabilitat a partir de senyes.

En el context de l'inteligència artificial, un sistema estocàstic és un sistema que es caracterisa per tindre un comportament aleatori o incert. Per eixemple, un sistema d'aprenentage automàtic pot ser considerat un sistema estocàstic si utilisa senyes aleatòries per a deprendre i fer prediccions.

La distribució de Boltzmann es basa en el principi de màxima entropía, que establix que, en un sistema termodinàmic en equilibri tèrmic, la distribució de provabilitat dels estats o configuracions del sistema és la que maximizar la entropía. Açò es deu a que, en un sistema en equilibri tèrmic, l'energia està distribuïda de manera uniforme entre tots els estats o configuracions possibles, lo que maximizar la entropía.

En l'àmbit de l'inteligència artificial, la distribució de Boltzmann s'utilisa a sovint per a modelar distribucions de provabilitat a partir de senyes utilisant models com les màquines de Boltzmann i les rets neuronals estocàstiques. Estos models utilisen un conjunt de neurones amagades cridades "unitats de Boltzmann" per a modelar la distribució de provabilitat de les senyes.

Ademés, la distribució de Boltzmann s'utilisa en l'inferència estocàstica, que és el procés d'estimar la distribució de provabilitat d'una variable amagada a partir d'un conjunt d'observacions. Açò es pot fer utilisant algoritmes com l'inferència de Gibbs, que utilisa la distribució de Boltzmann per a calcular la provabilitat de cada possible valor de la variable amagada.

La distribució de Boltzmann es pot expressar matemàticament com:

$P(E)=\frac{1}{Z}{e}^{\frac{-E}{kT}}$

A on P(I) és la provabilitat de trobar el sistema en l'estat en energia I, Z és la funció de partició d'estats, k és la constant de Boltzmann, T és la temperatura i i és la base del logaritme natural.

En general, la distribució de Boltzmann és una ferramenta important en l'àmbit de l'inteligència artificial per la seua capacitat per a modelar distribucions de provabilitat complexes i a la seua utilitat en l'anàlisis de sistemes estocàstics. També és útil per a deprendre distribucions de provabilitat a partir de senyes i per a realisar inferència estocàstica.