Principi de màxima entropía

En mecànica estadística, el principi de màxima entropía establix que la distribució de provabilitat menys biaixada que se li pot atribuir a un sistema estadístic és aquella en la que donades unixques certes condicions fixes maximizar l'entropía, $S$, açò és, aquella en la que la desinformació és màxima. Açò ve a dir que en una situació de desconeiximent d'informació la distribució estadística menys biaixada serà aquella en que menys informació extrínseca al problema continga. L'anterior principi implica que donada la entropía com una funció de la distribució de provabilitat i les j condiciones intrínseques al problema, la distribució menys biaixada per als N microestats complirà que:

$\delta S=0$

en les condicions

$g_i(P_1,\mathrm{...},P_N)=0i=1,\mathrm{...},j$

Amprant els multiplicadors de Lagrange la funció a maximizar és:

$S+\sum _i{\lambda }_i{g}_i(P_1,\mathrm{...},P_N)=0$

Aplicacions

Este principi variacional permet obtindre les distribucions microcanónica, canònica i macrocanónica per a un sistema. La funció entropía utilisada és:

$S=-k\sum _l{P}_l\ln P_l$

Colectivitat microcanónica

La distribució de provabilitat corresponent a la colectivitat microcanónica és la pertanyent a un sistema aïllat (no intercanvia ni calor ni matèria en l'exterior). L'única condició del problema serà la normalisació de la distribució de provabilitat per als $N$ microestats:

$\sum _{l=1}^N{P}_l=1\Rightarrow g(P_1,\mathrm{...},P_N)=\sum _{l=1}^N{P}_l-1$

De modo que pel principi de màxim:

$\frac{\delta }{\delta P_j}\{\sum _{l=1}^N(-k{P}_l\ln P_l+\lambda P_l)-\lambda \}=0,j=1,\mathrm{...},N\Rightarrow -k-k\cdot \ln P_j+\lambda =0,j=1,\mathrm{...},N$

Ya que ha de complir-se para tota variació de la distribució:

$-k-k\cdot \ln P_l+\lambda =0\Rightarrow \lambda =-k-k\cdot \ln P_l\mathrm{\forall }l=1,\mathrm{...},N$

Tenint en conte que $\lambda$ és arbitrari i constant para tot $l$, es té que

$P_l=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{\forall }l=1,\mathrm{...},N$

Per normalisació, es té:

$P_l=\frac{1}{N}$

Açò significa que en un sistema aïllat, cada u dels microestats són equiprobables.